Seja a função
As derivadas parciais e são contínuas em
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade das derivadas parciais de
O conteúdo é derivadas parciais de funções de duas variáveis e checar continuidade no ponto (0,0). Vamos precisar da definição de derivada parcial e do conceito de limite em coordenadas polares.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais no ponto (0,0) pela definição.
Para dfracpartial fpartial x(0,0) temos
f(h,0)-f(0,0)h=h^4/h^2-0h=h^2h=hto0(hto0)
Logo dfracpartial fpartial x(0,0)=0.
De modo análogo,
f(0,h)-f(0,0)h=0h=0,,
logo dfracpartial fpartial y(0,0)=0.
Passo 3
Agora obtemos as derivadas parciais para (x,y)neq(0,0) usando regras de derivação:
Escrevendo