Seja a função f(x, y)=lllx^4x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
As derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) são contínuas em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade das derivadas parciais de
f(x,y)=dfracx^4x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo é derivadas parciais de funções de duas variáveis e checar continuidade no ponto (0,0). Vamos precisar da definição de derivada parcial e do conceito de limite em coordenadas polares.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais no ponto (0,0) pela definição.
Para dfracpartial fpartial x(0,0) temos
f(h,0)-f(0,0)h=h^4/h^2-0h=h^2h=hto0(hto0)
Logo dfracpartial fpartial x(0,0)=0.
De modo análogo,
f(0,h)-f(0,0)h=0h=0,,
logo dfracpartial fpartial y(0,0)=0.

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais para (x,y)neq(0,0) usando regras de derivação:
Escrevendo
f(x,y)=x^4,(x^2+y^2)^-1,
temos
partial fpartial x=4x^3,(x^2+y^2)^-1+x^4,(-1)(x^2+y^2)^-2,2x =2x^3,(x^2+2y^2)(x^2+y^2)^2
e
partial fpartial y=x^4,(-1)(x^2+y^2)^-2,2y=-2x^4y(x^2+y^2)^2 .

Passo 4

Para checar a continuidade em (0,0), avaliamos o limite dessas derivadas quando (x,y)to(0,0). Use coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta.
Então
partial fpartial x=2rcos^3theta(cos^2theta+2sin^2theta)to0(rto0)
e
partial fpartial y=-2rcos^4thetasinthetato0(rto0)
Como esses limites valem zero, coincidem com os valores em (0,0).

Resposta

Sim. As derivadas parciais de f são contínuas em (0,0).

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