Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções f: R^2 R, z=f(x, y), utilizando o critério da segunda derivada.
z=x^3+3 x y^2-3 x^2-3 y^2+4

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f:R^2toR dada por z = x^3 + 3xy^2 - 3x^2 - 3y^2 + 4. O objetivo é encontrar os pontos críticos (onde nabla f=0) e classificá-los usando o critério da segunda derivada (Hessiana).

Passo 2

Calculando as derivadas parciais primeiro:
fx = partial fpartial x = 3x^2 + 3y^2 - 6x
fy = partial fpartial y = 6xy - 6y = 6y(x - 1)

Passo 3

Encontrando os pontos críticos, resolvendo fx=0 e fy=0:
• De fy=0 vem y=0 ou x=1.
• Se y=0, então 3x^2 - 6x = 0 x=0,2 ⇒ pontos (0,0) e (2,0).
• Se x=1, então 1 + y^2 - 2 = 0 y=pm1 ⇒ pontos (1,1) e (1,-1).

Passo 4

Calculando as derivadas de segunda ordem:
fxx = 6x - 6 = 6(x-1),
fyy = 6x - 6 = 6(x-1),
fxy = fyx = 6y

Passo 5

Formando o determinante da Hessiana:
D(x,y) = fxxfyy - (fxy)^2 = 36l[(x-1)^2 - y^2r]

Passo 6

Classificando cada ponto:
• Em (0,0): x-1=-1,y=0 D=36>0 e fxx=-6<0 → máximo local.
• Em (2,0): x-1=1,y=0 D=36>0 e fxx=6>0 → mínimo local.
• Em (1,1) e (1,-1): x-1=0,y=pm1 D=-36<0 → ponto de sela.

Passo 7

Calculando os valores de f nos pontos críticos:
f(0,0)=4,
f(2,0)=2^3 -3cdot2^2 +4 =8-12+4=0,
f(1,pm1)=1 +3cdot1cdot1 -3 -3 +4 =2

Resposta

Máximo local em (0,0,4); mínimo local em (2,0,0); pontos de sela em (1,1,2) e (1,-1,2).

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