Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções
, utilizando o critério da segunda derivada.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
dada por
. O objetivo é encontrar os pontos críticos (onde
) e classificá-los usando o critério da segunda derivada (Hessiana).
Passo 2
Calculando as derivadas parciais primeiro:
Passo 3
Encontrando os pontos críticos, resolvendo
e
:
• De vem
ou
.
• Se , então
dá
⇒ pontos
e
.
• Se , então
dá
⇒ pontos
e
.
• De
• Se
• Se
Passo 4
Calculando as derivadas de segunda ordem:
Passo 5
Formando o determinante da Hessiana:
Passo 6
Classificando cada ponto:
• Em :
⇒
e
→ máximo local.
• Em :
⇒
e
→ mínimo local.
• Em e
:
⇒
→ ponto de sela.
• Em
• Em
• Em
Passo 7
Calculando os valores de
nos pontos críticos:
Resposta
Máximo local em (0,0,4); mínimo local em (2,0,0); pontos de sela em (1,1,2) e (1,-1,2).