Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções
, utilizando o critério da segunda derivada.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos e classificarmos, segundo o critério da segunda derivada, os pontos de máximo, mínimo ou sela da superfície definida por z = 5 – x³. O conteúdo aqui é análise de pontos críticos de uma função de duas variáveis, para o que vamos precisar calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem e usar o determinante do Hessiano.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Para achar pontos críticos igualamos a zero:
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas:
O determinante do Hessiano é
Como
, o critério da segunda derivada é inconclusivo.
Passo 4
Para classificar precisamos analisar o comportamento de
perto de um ponto crítico, digamos
. Se tomarmos variações só em
, para
temos
, e para
temos
. Ou seja, em direções opostas
fica abaixo e acima do valor no ponto crítico, caracterizando um ponto de sela (infleção).
Passo 5
Conclusão: não existem pontos de máximo nem de mínimo; todo ponto da reta
é ponto de sela.
Resposta
A função não tem máximos nem mínimos locais. A reta x=0 (com qualquer y) é formada por pontos de sela.