Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções f: R^2 R, z=f(x, y), utilizando o critério da segunda derivada.
z=5-x^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos e classificarmos, segundo o critério da segunda derivada, os pontos de máximo, mínimo ou sela da superfície definida por z = 5 – x³. O conteúdo aqui é análise de pontos críticos de uma função de duas variáveis, para o que vamos precisar calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem e usar o determinante do Hessiano.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx = partialpartial x(5 - x^3) = -3x^2,
fy = partialpartial y(5 - x^3) = 0
Para achar pontos críticos igualamos a zero: fx = 0 x = 0, e fy = 0 vale para todo y. Logo, a reta x=0 com y livre é o conjunto de pontos críticos.

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas:
fxx = partialpartial x(-3x^2) = -6x,
fyy = partialpartial y(0) = 0,
fxy = partialpartial y(-3x^2) = 0
O determinante do Hessiano é
D = fxxfyy - (fxy)^2 = (-6x)cdot 0 - 0 = 0
Como D=0, o critério da segunda derivada é inconclusivo.

Passo 4

Para classificar precisamos analisar o comportamento de f perto de um ponto crítico, digamos (0,y0). Se tomarmos variações só em x, para x>0 temos f( x,y0)=5 - x^3<5, e para x<0 temos f(x,y0)=5 - x^3>5. Ou seja, em direções opostas f fica abaixo e acima do valor no ponto crítico, caracterizando um ponto de sela (infleção).

Passo 5

Conclusão: não existem pontos de máximo nem de mínimo; todo ponto da reta (0,y):yin R é ponto de sela.

Resposta

A função não tem máximos nem mínimos locais. A reta x=0 (com qualquer y) é formada por pontos de sela.

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