Scja o campo vetorial F(x, y)=(y,-x). Calcule a integral de linha desse caupo ao longo da curva C, que é a circunferência de raio 2 centrada na origem e percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha ointC Fcdot d r do campo vetorial F(x,y)=(y,-x) ao longo da circunferência de raio 2 centrada na origem, percorrida no sentido anti-horário. Vamos usar teoria de campos vetoriais e o Teorema de Green.

Passo 2

Em teoria, o Teorema de Green diz que para uma curva fechada simples C que delimita uma região D, vale:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD (partial Qpartial x - partial Ppartial y),dA
No nosso caso, temos P(x,y)=y e Q(x,y)=-x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (-x)partial x = -1,
partial Ppartial y = partial (y)partial y = 1
Logo, o integrando do Teorema de Green é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -1 - 1 = -2

Passo 4

A área da região D limitada pela circunferência de raio 2 é
Área(D) = pi cdot 2^2 = 4piÁ
Assim, a integral de linha fica
ointC Fcdot d r = integral duplaD (-2),dA = -2 times l(4pir) = -8pi

Passo 5

Portanto, concluímos que a integral de linha do campo ao longo da curva C é -8pi.

Resposta

(-8\pi)

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