Scja o campo vetorial
. Calcule a integral de linha desse caupo ao longo da curva
, que é a circunferência de raio 2 centrada na origem e percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral de linha
do campo vetorial
ao longo da circunferência de raio 2 centrada na origem, percorrida no sentido anti-horário. Vamos usar teoria de campos vetoriais e o Teorema de Green.
Passo 2
Em teoria, o Teorema de Green diz que para uma curva fechada simples
que delimita uma região
, vale:
No nosso caso, temos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo, o integrando do Teorema de Green é
Passo 4
A área da região
limitada pela circunferência de raio
é
Assim, a integral de linha fica
Passo 5
Portanto, concluímos que a integral de linha do campo ao longo da curva
é
.
Resposta
(-8\pi)