Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções f: R^2 R, z=f(x, y), utilizando o critério da segunda derivada.
z=y sen x

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=ysenx. O objetivo é usar o critério da segunda derivada para ver se existem pontos de máximo, mínimo ou sela. Vamos precisar calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem e o determinante do Hessiano.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem: fx=partial fpartial x=ycos x e fy=partial fpartial y=senx.

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos o sistema fx=0 e fy=0: de fy=0 vem senx=0, ou seja x=npi. Substituindo em fx=0 obtemos ycos(npi)=0. Como cos(npi)=(-1)^nneq0, segue y=0. Logo, os pontos críticos são (x,y)=(npi,0), com ninZ.

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas: fxx=partial^2 fpartial x^2=-ysenx, fyy=partial^2 fpartial y^2=0 e fxy=partial^2 fpartial xpartial y=cos x.

Passo 5

Avaliando em (npi,0): fxx=0, fyy=0, fxy=cos(npi)=(-1)^n. O determinante do Hessiano é
D=fxxfyy-(fxy)^2=0cdot0-((-1)^n)^2=-1<0 Como D<0, cada ponto crítico é ponto de sela.

Resposta

Os únicos pontos críticos são (npi,0), ninZ, e todos são pontos de sela. Não há máximos nem mínimos.

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