Seja a função f(x, y)=lllx^4x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
Verifique se f é contínua em (0,0).

Passo 1

A função é dada por
f(x,y)= x^4x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
Queremos checar a continuidade em (0,0), ou seja, se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0.

Passo 2

Para mostrar que o limite é zero, vamos usar coordenadas polares. Definindo x=rcostheta e y=rsintheta, temos r=raizx^2+y^2 e
f(r,theta)=(rcostheta)^4r^2=r^2cos^4theta
Como |cos^4theta|<=1, segue que
|f(r,theta)|<= r^2,
e portanto f(r,theta)to0 quando rto0.

Passo 3

Para dar uma versão varepsilon de, note que
|f(x,y)|=|x^4x^2+y^2|=x^4x^2+y^2<= x^2<= x^2+y^2=r^2
Dado varepsilon>0, escolha de. Se raizx^2+y^2, então
|f(x,y)|<= r^2
Isso mostra que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.

Resposta

A função é contínua em (0,0), pois lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).

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