Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções
, utilizando o critério da segunda derivada.
Passo 1
Temos a função z = 2x²y – 2x² + 8y² – 24y + 11. O conteúdo aqui é localizar extremos (máximos, mínimos ou sela) de funções de duas variáveis usando o critério da segunda derivada. Vamos precisar calcular o gradiente (derivadas parciais) para achar pontos críticos e depois a Hessiana para classificar esses pontos.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Daí, de f_x=0 vem x=0 ou y=1. Substituindo em f_y=0:
– Se x=0: 16y – 24 = 0 ⇒ y=3/2, gerando (0,3/2).
– Se y=1: 2x² – 8 = 0 ⇒ x=±2, gerando (2,1) e (–2,1).
Passo 3
Agora achamos as derivadas de segunda ordem e o determinante da Hessiana:
Passo 4
Classificamos cada ponto crítico avaliando D e f_{xx}:
– Em (0,3/2): y–1=1/2 ⇒ D = 16·2 = 32 > 0 e f_{xx}=4·(1/2)=2 > 0 ⇒ mínimo local.
– Em (2,1): y–1=0, x²=4 ⇒ D = 16·(0–4)=–64 < 0 ⇒ ponto de sela.
– Em (–2,1): mesma conta ⇒ D<0 ⇒ ponto de sela.
– Em (0,3/2): y–1=1/2 ⇒ D = 16·2 = 32 > 0 e f_{xx}=4·(1/2)=2 > 0 ⇒ mínimo local.
– Em (2,1): y–1=0, x²=4 ⇒ D = 16·(0–4)=–64 < 0 ⇒ ponto de sela.
– Em (–2,1): mesma conta ⇒ D<0 ⇒ ponto de sela.
Resposta
Mínimo local em (0,3/2); pontos de sela em (2,1) e (–2,1). Não há máximos locais.