Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções f: R^2 R, z=f(x, y), utilizando o critério da segunda derivada.
z=2 x^2 y-2 x^2+8 y^2-24 y+11

Passo 1

Temos a função z = 2x²y – 2x² + 8y² – 24y + 11. O conteúdo aqui é localizar extremos (máximos, mínimos ou sela) de funções de duas variáveis usando o critério da segunda derivada. Vamos precisar calcular o gradiente (derivadas parciais) para achar pontos críticos e depois a Hessiana para classificar esses pontos.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx = 4x(y - 1), fy = 2x^2 + 16y - 24
Daí, de f_x=0 vem x=0 ou y=1. Substituindo em f_y=0:
– Se x=0: 16y – 24 = 0 ⇒ y=3/2, gerando (0,3/2).
– Se y=1: 2x² – 8 = 0 ⇒ x=±2, gerando (2,1) e (–2,1).

Passo 3

Agora achamos as derivadas de segunda ordem e o determinante da Hessiana:
fxx = 4(y - 1), fxy = 4x, fyy = 16,
D = fxxfyy - (fxy)^2 = 16l(4(y - 1) - x^2r)

Passo 4

Classificamos cada ponto crítico avaliando D e f_{xx}:
– Em (0,3/2): y–1=1/2 ⇒ D = 16·2 = 32 > 0 e f_{xx}=4·(1/2)=2 > 0 ⇒ mínimo local.
– Em (2,1): y–1=0, x²=4 ⇒ D = 16·(0–4)=–64 < 0 ⇒ ponto de sela.
– Em (–2,1): mesma conta ⇒ D<0 ⇒ ponto de sela.

Resposta

Mínimo local em (0,3/2); pontos de sela em (2,1) e (–2,1). Não há máximos locais.

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