Seja a função f(x, y)=4 x cos (x y). Encontre a derivada direcional de f no ponto (2, pi), com relação à direção do vetor (raiz32,-12).

Passo 1

Resumo: A questão pede a derivada direcional de f(x,y)=4x cos(xy) no ponto (2,π) na direção do vetor u=(√3/2,−1/2). O conteúdo aqui é derivadas parciais e produto escalar com vetor unitário. Vamos precisar calcular ∂f/∂x, ∂f/∂y, avaliar no ponto dado e projetar no vetor direcional.

Passo 2

Para achar as derivadas parciais uso as regras de derivação: produto e cadeia. Temos f(x,y)=4x·cos(xy). Então
partial fpartial x=4cos(xy)+4xcdot(-sin(xy))cdot y=4cos(xy)-4xysin(xy),
partial fpartial y=4xcdot(-sin(xy))cdot x=-4x^2sin(xy)

Passo 3

Agora avalio no ponto (2,π). Como xy=2π, vale cos(2π)=1 e sin(2π)=0. Logo
partial fpartial x(2,pi)=4cdot1-4cdot2picdot0=4,
partial fpartial y(2,pi)=-4cdot2^2cdot0=0

Passo 4

O gradiente em (2,π) é ∇f(2,π)=(4,0). A derivada direcional é o produto escalar de ∇f com u:
Duf(2,pi)=nabla f(2,pi)cdot u=(4,0)cdotl(raiz32,-12r)=4cdotraiz32+0=-,-na verdade é+,2raiz3é

Resposta

2\sqrt{3}

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