Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções
, utilizando o critério da segunda derivada.
Passo 1
Temos a função
. Queremos encontrar pontos críticos e classificá-los usando o critério da segunda derivada, ou seja, calcular as derivadas parciais para o gradiente, depois a matriz Hessiana e o discriminante
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem para obter o gradiente:
Passo 3
Resolver o sistema
. Da segunda equação vem
. Substituindo em
dá
Logo, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem para construir a Hessiana:
Passo 5
Para cada ponto crítico, avaliar o discriminante
e classificar:
- Em
temos e
indicando ponto de sela.
- Em
temos e
com
, indicando mínimo local.
Passo 6
Não há ponto de máximo local, pois não aparece
com
.
Resposta
Ponto de sela em (0,0) e ponto de mínimo local em (1,3). Não há pontos de máximo.