Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções f: R^2 R, z=f(x, y), utilizando o critério da segunda derivada.
z=163 x^3+x^2-6 x y+y^2

Passo 1

Temos a função f(x,y)=163x^3+x^2-6xy+y^2. Queremos encontrar pontos críticos e classificá-los usando o critério da segunda derivada, ou seja, calcular as derivadas parciais para o gradiente, depois a matriz Hessiana e o discriminante D=fxxfyy-(fxy)^2.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem para obter o gradiente:
fx=16x^2+2x-6y,
fy=-6x+2y

Passo 3

Resolver o sistema fx=0,,fy=0. Da segunda equação vem y=3x. Substituindo em fx=0
16x^2+2x-6(3x)=16x^2+2x-18x=16x^2-16x=16x(x-1)=0
Logo, os pontos críticos são (0,0) e (1,3).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem para construir a Hessiana:
fxx=32x+2,
fxy=-6,
fyy=2

Passo 5

Para cada ponto crítico, avaliar o discriminante D=fxxfyy-(fxy)^2 e classificar:
  • Em (0,0) temos fxx=2 e
D=2cdot2-(-6)^2=4-36=-32<0,
indicando ponto de sela.
  • Em (1,3) temos fxx=32cdot1+2=34 e
D=34cdot2-(-6)^2=68-36=32>0,
com fxx>0, indicando mínimo local.

Passo 6

Não há ponto de máximo local, pois não aparece D>0 com fxx<0.

Resposta

Ponto de sela em (0,0) e ponto de mínimo local em (1,3). Não há pontos de máximo.

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