Seja a função f(x, y)=lllx y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) beta+5 & se & (x, y)=(0,0)
Considere o valor de beta obtido no item (a). Verifique se a derivada parcial partial fpartial x(x, y) é contínua em (0,0).

Passo 1

A questão define a função
Temos uma parte em que f(x,y)=\frac{x y{2}}{x{2}+y^{2}} para (x,y)≠(0,0) e f(0,0)=β+5.
O objetivo aqui é: dado que β foi escolhido para tornar f contínua em (0,0), verificar se partial f/partial x é contínua em (0,0).
Vamos precisar de: limite de f para achar β, definição de derivada parcial e regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Para achar β, impomos continuidade em (0,0), isto é,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=β+5
Em coordenadas polares x=r cosθ, y=r sinθ,
f(x,y)=rcosθ,(rsinθ)^2r^2=rcosθsin^2θto0quando rto0
Logo o limite vale 0 e para ser contínua precisa 0=β+5, ou seja β=−5.

Passo 3

Para calcular partial f/partial x na origem usamos a definição
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h ã\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.$$

Passo 4

Para (x,y)≠(0,0), aplicamos a regra do quociente em u(x,y)=x y^{2} e v(x,y)=x{2}+y{2}:
ux=y^2, vx=2x
Logo
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y{2}(x{2}+y^{2})-x y{2}(2x)}{(x{2}+y{2}){2}}
=\frac{y{4}-x{2}y{2}}{(x{2}+y{2}){2}}=\frac{y{2}(y{2}-x{2})}{(x{2}+y{2}){2}}.
$$

Passo 5

Para ver se essa derivada é contínua em (0,0), estudamos
lim(x,y)to(0,0)y^2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2
Em polares:
$$=\frac{(r\sinθ){2}\bigl((r\sinθ){2}-(r\cosθ){2}\bigr)}{r{4}}= rac{r{4}\sin{2}θ(\sin{2}θ-\cos{2}θ)}{r{4}}=\sin{2}θ,(\sin{2}θ-\cos{2}θ).
$$
Isso depende de θ (por exemplo vale 1 quando θ=90° e 0 quando θ=45°), logo o limite não existe.

Passo 6

Como o valor da derivada parcial não tende ao mesmo número em todas as direções, partial f/partial x não é contínua em (0,0).

Resposta

A derivada parcial partial f/partial x não é contínua em (0,0).

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