Seja a função
Considere o valor de
obtido no item (a). Verifique se a derivada parcial
é contínua em
.
Considere o valor de
Passo 1
A questão define a função
Temos uma parte em que f(x,y)=\frac{x y{2}}{x{2}+y^{2}} para (x,y)≠(0,0) e f(0,0)=β+5.
O objetivo aqui é: dado que β foi escolhido para tornar f contínua em (0,0), verificar se é contínua em (0,0).
Vamos precisar de: limite de f para achar β, definição de derivada parcial e regra do quociente para derivadas.
Temos uma parte em que f(x,y)=\frac{x y{2}}{x{2}+y^{2}} para (x,y)≠(0,0) e f(0,0)=β+5.
O objetivo aqui é: dado que β foi escolhido para tornar f contínua em (0,0), verificar se
Vamos precisar de: limite de f para achar β, definição de derivada parcial e regra do quociente para derivadas.
Passo 2
Para achar β, impomos continuidade em (0,0), isto é,
Em coordenadas polares x=r cosθ, y=r sinθ,
Logo o limite vale 0 e para ser contínua precisa 0=β+5, ou seja β=−5.
Passo 3
Para calcular
na origem usamos a definição
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Passo 4
Para (x,y)≠(0,0), aplicamos a regra do quociente em u(x,y)=x y^{2} e v(x,y)=x{2}+y{2}:
Logo
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y{2}(x{2}+y^{2})-x y{2}(2x)}{(x{2}+y{2}){2}}
=\frac{y{4}-x{2}y{2}}{(x{2}+y{2}){2}}=\frac{y{2}(y{2}-x{2})}{(x{2}+y{2}){2}}.
=\frac{y{4}-x{2}y{2}}{(x{2}+y{2}){2}}=\frac{y{2}(y{2}-x{2})}{(x{2}+y{2}){2}}.
$$
Passo 5
Para ver se essa derivada é contínua em (0,0), estudamos
Em polares:
$$=\frac{(r\sinθ){2}\bigl((r\sinθ){2}-(r\cosθ){2}\bigr)}{r{4}}=rac{r{4}\sin{2}θ(\sin{2}θ-\cos{2}θ)}{r{4}}=\sin{2}θ,(\sin{2}θ-\cos{2}θ).
$$
Isso depende de θ (por exemplo vale 1 quando θ=90° e 0 quando θ=45°), logo o limite não existe.
Isso depende de θ (por exemplo vale 1 quando θ=90° e 0 quando θ=45°), logo o limite não existe.
Passo 6
Como o valor da derivada parcial não tende ao mesmo número em todas as direções,
não é contínua em (0,0).
Resposta
A derivada parcial
não é contínua em (0,0).