Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções f: R^2 R, z=f(x, y), utilizando o critério da segunda derivada.
z=x^3+y^3-12 x y

Passo 1

O problema é encontrar os pontos críticos de f(x,y)=x³+y³−12xy e classificá-los (máximos, mínimos ou sela) pelo teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver ∇f=0 e depois usar a matriz Hessiana para classificação.

Passo 2

Calcular as primeiras derivadas parciais e igualar a zero:
fx=partial fpartial x=3x^2-12y=0Rightarrow y=x^24,
$$f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-12x=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{y^2}{4}.
$$

Passo 3

Resolver o sistema y=x²/4 e x=y²/4. Substituindo y na segunda:
x=(x^2/4)^24=x^464
Isso dá x=0 ou, dividindo por x≠0, x³=64⇒x=4. Para x=0 segue y=0; para x=4 segue y=4. Assim os pontos críticos são (0,0) e (4,4).

Passo 4

Calcular as segundas derivadas para formar a Hessiana:
fxx=6x, fyy=6y, fxy=fyx=-12
O determinante da Hessiana é
D=fxxfyy-fxy^2=36xy-144

Passo 5

Avaliar D e f_{xx} em cada ponto:
Para (0,0): D=36cdot0cdot0-144=-144<0, logo é ponto de sela.
Para (4,4): D=36cdot4cdot4-144=432>0 e fxx(4,4)=24>0, logo é mínimo local.

Passo 6

Encontrados os pontos e suas classificações: (0,0) é ponto de sela; (4,4) é mínimo local. Não há máximos locais.

Resposta

Ponto de sela em (0,0) e mínimo local em (4,4) com valor f(4,4)=−64; não existem máximos locais.

Exercícios relacionados