Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções
, utilizando o critério da segunda derivada.
Passo 1
O problema é encontrar os pontos críticos de f(x,y)=x³+y³−12xy e classificá-los (máximos, mínimos ou sela) pelo teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver ∇f=0 e depois usar a matriz Hessiana para classificação.
Passo 2
Calcular as primeiras derivadas parciais e igualar a zero:
$$f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-12x=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{y^2}{4}.
$$
Passo 3
Resolver o sistema y=x²/4 e x=y²/4. Substituindo y na segunda:
Isso dá x=0 ou, dividindo por x≠0, x³=64⇒x=4. Para x=0 segue y=0; para x=4 segue y=4. Assim os pontos críticos são (0,0) e (4,4).
Passo 4
Calcular as segundas derivadas para formar a Hessiana:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Avaliar D e f_{xx} em cada ponto:
Para (0,0):
logo é ponto de sela.
Para (4,4):
e
logo é mínimo local.
Passo 6
Encontrados os pontos e suas classificações: (0,0) é ponto de sela; (4,4) é mínimo local. Não há máximos locais.
Resposta
Ponto de sela em (0,0) e mínimo local em (4,4) com valor f(4,4)=−64; não existem máximos locais.