Nos problemas, a seguir,
  • Esboce o gráfico da função dada por três períodos;
  • Encontre a série de Fourier da função dada;
  • Faça o gráfico de sm=(x) em função de x para m=5,10 e 20 .
f(x)=rr x+2, & -2 <= x<0 2-2 x, & 0 <= x<2 f(x+4)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede para a função periódica de período 4 dada por
f(x)=x+2,&-2<= x<0,2-2x,&0<= x<2,f(x+4)=f(x),
que a gente:
  1. esboça num intervalo de três períodos, 2) encontra a série de Fourier e 3) plota somas parciais sm(x) para m=5,10,20. Vamos usar os coeficientes de Fourier com comprimento L=2.

Passo 2

Para calcular o coeficiente a0 usamos
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx=12integral-2^2f(x),dx
Como
integral-2^0(x+2)dx=2, $$
\int_{0}^2(2-2x)dx=0,
$$
tenho integral0^2(2-2x)dx=0, , então o termo constante é a0=tfrac12(2+0)=1.

Passo 3

Para os coeficientes an (parte cosseno) usamos
an=1Lintegral-L^Lf(x)cosl(npi xLr)dx=tfrac12integral-2^2f(x)cosl(tfracnpi x2r)dx
Fazendo a integral em cada ramo e simplificando, chega-se a
an=61-(-1)^nn^2pi^2
Isso dá an=0 se n é par e an=12/(n^2pi^2) se n é ímpar.

Passo 4

Para os coeficientes bn (parte seno) usamos
bn=1Lintegral-L^Lf(x)sinl(npi xLr)dx=tfrac12integral-2^2f(x)sinl(tfracnpi x2r)dx
Executando a integral, encontra-se
bn=(-1)^nalphacom alpha=npi2,
o que simplifica para
bn=2(-1)^nnpi

Passo 5

Então a série de Fourier da função vale
f(x)=12+sumn=1^inftyl[6tfrac1-(-1)^nn^2pi^2cosl(tfracnpi x2r)+tfrac2(-1)^nnpisinl(tfracnpi x2r)r]

Passo 6

Para esboçar f(x) em três períodos, basta repetir o trecho de [-2,2] a cada 4 unidades no eixo x. As somas parciais
sm(x)=12+sumn=1^ml[6tfrac1-(-1)^nn^2pi^2cosl(tfracnpi x2r)+tfrac2(-1)^nnpisinl(tfracnpi x2r)r]
para m=5,10,20 aproximam cada vez melhor o traçado original, mostrando oscilações de Gibbs nas descontinuidades.

Passo 7

Nos gráficos de s5(x),s10(x) e s20(x), você verá que conforme m cresce a aproximação melhora em todo o domínio, mas fica sempre um pequeno sobre-oscilar perto de x=0,pm2,pm4,dots.

Resposta

A série de Fourier é
f(x)=12+sumn=1^inftyl[61-(-1)^nn^2pi^2cosl(tfracnpi x2r)+2(-1)^nnpisinl(tfracnpi x2r)r]
Os esboços de três períodos de f(x) e os gráficos de sm(x) para m=5,10,20 são obtidos repetindo o padrão em [-2,2] a cada 4 unidades e traçando as somas parciais acima.

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