Nos problemas, a seguir,
  • Esboce o gráfico da função dada por três períodos;
  • Encontre a série de Fourier da função dada;
  • Faça o gráfico de sm=(x) em função de x para m=5,10 e 20 .
f(x)=rl 0, & -3 <= x <= 0 x^2(3-x), & 0

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 6, dada por f(x)=0 em [–3,0] e f(x)=x²(3–x) em (0,3). Vamos obter: o esboço de três períodos, a série de Fourier geral e os gráficos das somas parciais sₘ para m=5,10,20. Precisaremos usar as fórmulas de Fourier em [–L,L] com L=3 e integrar em [0,3] porque f é nula em [–3,0].

Passo 2

Primeiro, para esboçar f em três períodos, note que em cada intervalo [6k–3,6k] ela vale zero e em (6k,6k+3) é a curva cúbica x²(3–x). Basta replicar esse padrão em três blocos de comprimento 6 para x∈[–9,9].

Passo 3

A forma geral da série de Fourier de período 2L=6 é
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancostfracnpi x3+bnsintfracnpi x3r),
com
a0=tfrac13integral-3^3f(x),dx,
an=tfrac13integral-3^3f(x)costfracnpi x3,dx,
bn=tfrac13integral-3^3f(x)sintfracnpi x3,dx

Passo 4

Para calcular a₀, observe que f=0 em [–3,0], então
a0=tfrac13integral0^3x^2(3-x),dx =tfrac13l[ x^3-tfracx^44r]0^3 =tfrac13cdottfrac274=tfrac94,
logo a média é a₀/2=9/8.

Passo 5

Para aₙ faça a integral em [0,3] expandindo 3x²–x³ e integrando por partes. O resultado, usando α=nπ/3 e avaliando em 0 e 3, simplifica-se usando cos(3α)=(-1)ⁿ e sin(3α)=0. Obtém-se
an=27,(6 - n^2pi^2)(-1)^n -162n^4pi^4

Passo 6

Para bₙ, de modo análogo integra-se (3x²–x³)·sin(αx) em [0,3]. Usando sin(3α)=0 e cos(3α)=(-1)ⁿ chega-se a
bn=108(-1)^n+1-54n^3pi^3

Passo 7

Assim a série de Fourier fica
f(x)=98+sumn=1^inftyl(27,(6-n^2pi^2)(-1)^n-162n^4pi^4costfracnpi x3+108(-1)^n+1-54n^3pi^3sintfracnpi x3r)

Passo 8

Para desenhar s_m(x) com m=5,10,20 basta calcular numericamente os coeficientes aₙ,bₙ até n=m e traçar
sm(x)=98+sumn=1^ml(ancostfracnpi x3+bnsintfracnpi x3r)
em comparar com f(x). À medida que m cresce, s_m(x) se aproxima de f(x) em quase todo x, exibindo oscilações de Gibbs nos saltos.

Passo 9

Os gráficos de f em três períodos e de s₅,s₁₀,s₂₀ ilustram bem a convergência da série e as oscilações perto de x=0,±3 etc.

Resposta

f(x)=98+sumn=1^inftygl(27,(6-n^2pi^2)(-1)^n-162n^4pi^4cosnpi x3+108(-1)^n+1-54n^3pi^3sinnpi x3gr)

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