Nos problemas, a seguir,
- Esboce o gráfico da função dada por três períodos;
- Encontre a série de Fourier da função dada;
- Faça o gráfico de
em função de
para
e 20 .
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período 6, dada por f(x)=0 em [–3,0] e f(x)=x²(3–x) em (0,3). Vamos obter: o esboço de três períodos, a série de Fourier geral e os gráficos das somas parciais sₘ para m=5,10,20. Precisaremos usar as fórmulas de Fourier em [–L,L] com L=3 e integrar em [0,3] porque f é nula em [–3,0].
Passo 2
Primeiro, para esboçar f em três períodos, note que em cada intervalo [6k–3,6k] ela vale zero e em (6k,6k+3) é a curva cúbica x²(3–x). Basta replicar esse padrão em três blocos de comprimento 6 para x∈[–9,9].
Passo 3
A forma geral da série de Fourier de período 2L=6 é
com
Passo 4
Para calcular a₀, observe que f=0 em [–3,0], então
logo a média é a₀/2=9/8.
Passo 5
Para aₙ faça a integral em [0,3] expandindo 3x²–x³ e integrando por partes. O resultado, usando α=nπ/3 e avaliando em 0 e 3, simplifica-se usando cos(3α)=(-1)ⁿ e sin(3α)=0. Obtém-se
Passo 6
Para bₙ, de modo análogo integra-se (3x²–x³)·sin(αx) em [0,3]. Usando sin(3α)=0 e cos(3α)=(-1)ⁿ chega-se a
Passo 7
Assim a série de Fourier fica
Passo 8
Para desenhar s_m(x) com m=5,10,20 basta calcular numericamente os coeficientes aₙ,bₙ até n=m e traçar
em comparar com f(x). À medida que m cresce, s_m(x) se aproxima de f(x) em quase todo x, exibindo oscilações de Gibbs nos saltos.
Passo 9
Os gráficos de f em três períodos e de s₅,s₁₀,s₂₀ ilustram bem a convergência da série e as oscilações perto de x=0,±3 etc.