1. Um ímã permanente, com a forma de um cilindro circular reto, de comprimento L e raio R, está orientado de maneira que seu eixo de simetria coincida com o eixo z. A origem de sistema de coordenadas está no centro do ímã. Se o cilindro tiver magnetização axial uniforme \vec{M} determine \varphi^{*} em pontos no eixo do cilindro fora do ímã. Determine também a inducão magnética em pontos no eixo do cilindro fora do imã. (18 pontos)

Passo 1

O enunciado dá um ímã na forma de cilindro circular reto com:
  • comprimento \,L, raio \,R,
  • eixo de simetria coincidindo com o eixo z,
  • origem no centro do cilindro,
  • magnetização axial uniforme \vec{M}=M\,\hat{z} (onde M é a magnitude constante).
O que pedem:
  • determinar a potencialescalar magnética \varphi^{*} em pontos sobre o eixo z que estejam fora do ímã (ou seja |z|>L/2);
  • determinar a indução magnética \vec{B} (no eixo) nesses mesmos pontos.
Informações úteis dadas pelo enunciado: \,L,\;R,\;M e que o ponto onde se avalia fica sobre o eixo z com |z|>L/2.

Passo 2

Conceito-chave (passo a passo, sem pular etapas): magnetização uniforme gera “cargas magnéticas ligadas” análogas às cargas elétricas. As fórmulas são:
\rho_m = -\nabla\cdot\vec M, \qquad \sigma_m = \vec M\cdot\hat n
onde \rho_m é a densidade volumétrica de carga magnética, \sigma_m é a densidade superficial de carga magnética na superfície do corpo e \hat n é o vetor normal exterior à superfície. Essas “cargas magnéticas” geram um potencial escalar \varphi^{*} que satisfaz a equação de Poisson
\nabla^2\varphi^{*} = -\rho_m
e cuja solução integral, análoga ao potencial elétrico, é
\varphi^{*}(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi}\left(\int \frac{\rho_m(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,dV' +\int \frac{\sigma_m(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,dS'\right).
Agora aplicando ao nosso caso: \vec M=M\hat z é uniforme, logo
\nabla\cdot\vec M = 0 \quad\Rightarrow\quad \rho_m=0.
Portanto não há carga volumétrica. A única contribuição vem das superfícies do cilindro. No cilindro existem duas superfícies importantes:
  • superfície lateral: normal radial \hat n=\hat\rho ortogonal a \hat z, então \sigma_m=\vec M\cdot\hat n=0 nessa lateral;
  • faces (tampas) circulares: em z=+L/2 o normal exterior é +\hat z e em z=-L/2 o normal exterior é -\hat z. Assim
\sigma_m(z=+L/2)=\vec M\cdot(+\hat z)=+M, \qquad \sigma_m(z=-L/2)=\vec M\cdot(-\hat z)=-M.
Conclusão: as cargas magnéticas são duas densidades superficiais uniformes sobre os discos das tampas: +M na tampa superior e -M na tampa inferior.

Passo 3

Estratégia concreta para calcular \varphi^{*} no eixo fora do cilindro: somar os potenciais gerados pelos dois discos com densidades \sigma=+M e \sigma=-M. Para um ponto sobre o eixo a distância z da origem, a contribuição de cada disco depende apenas da distância axial entre o ponto e o plano do disco, por simetria.
Vamos calcular primeiro o potencial de um disco circular de raio R com densidade superficial uniforme \sigma, em um ponto sobre o eixo a uma distância axial a do plano do disco (distância algébrica; depois aplicamos aos discos do cilindro).

Passo 4

Cálculo do potencial de um disco uniformemente “carregado” (análogo elétrico) em um ponto sobre o eixo.
Colocamos o disco no plano z=0 e o ponto de observação em z=a. Em coordenadas cilíndricas sobre o disco, um elemento de área é dS'=\rho'\,d\rho'\,d\varphi'. A distância entre o ponto (0,0,a) e um elemento do disco (\rho',\varphi',0) é
|\mathbf r-\mathbf r'|=\sqrt{\rho'^2 + a^2}.
A contribuição do disco ao potencial (usando a expressão integral com fator 1/(4\pi)) é
\varphi_{\text{disco}}(a)=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\frac{\sigma\,\rho'\,d\rho'\,d\varphi'}{\sqrt{\rho'^2+a^2}}.
Integramos primeiro em \varphi' (dá 2\pi) e depois em \rho'. Ficamos com
\varphi_{\text{disco}}(a)=\frac{\sigma}{2}\int_0^{R}\frac{\rho'\,d\rho'}{\sqrt{\rho'^2+a^2}}.
Agora resolvemos a integral. Observe que
\frac{d}{d\rho'}\sqrt{\rho'^2+a^2}=\frac{\rho'}{\sqrt{\rho'^2+a^2}}.
Portanto a integral é imediata:
\int_0^{R}\frac{\rho'\,d\rho'}{\sqrt{\rho'^2+a^2}}=\biggl[\sqrt{\rho'^2+a^2}\,\biggr]_{0}^{R} =\sqrt{R^2+a^2}-|a|.
Logo
\boxed{\displaystyle \varphi_{\text{disco}}(a)=\frac{\sigma}{2}\Bigl(\sqrt{R^2+a^2}-|a|\Bigr).}
Essa fórmula vale para qualquer a (positivo ou negativo); o módulo aparece naturalmente.

Passo 5

Aplicando ao cilindro: temos duas tampas com densidades \sigma_{+}=+M no plano z=+L/2 e \sigma_{-}=-M no plano z=-L/2. Para um ponto no eixo em coordenada z a distância axial até a tampa superior é a_{+}=z-(+L/2)=z-L/2 e até a tampa inferior é a_{-}=z-(-L/2)=z+L/2. Somando as contribuições (lembre do fator 1/4\pi já incorporado na expressão do disco), o potencial total é
\varphi^{*}(z)=\varphi_{\text{tampa superior}}(a_{+})+\varphi_{\text{tampa inferior}}(a_{-})
\varphi^{*}(z)=\frac{M}{2}\Bigl(\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}-|z-L/2|\Bigr) +\frac{-M}{2}\Bigl(\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}-|z+L/2|\Bigr).
Essa expressão é válida para qualquer z. Como o enunciado pede pontos fora do ímã, assumimos |z|>L/2. Nessa região os módulos tornam-se simples: para z>L/2 temos |z-L/2|=z-L/2 e |z+L/2|=z+L/2; para z<-L/2 ambos os módulos mudam de sinal, mas a expressão geral acima já é correta. Para simplificar, escrevemos a forma explícita para z>L/2:
\varphi^{*}(z)=\frac{M}{2}\Bigl(\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}- (z-L/2)\Bigr) -\frac{M}{2}\Bigl(\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}- (z+L/2)\Bigr).
Organizando os termos lineares em z,
\varphi^{*}(z)=\frac{M}{2}\Bigl(L+\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}-\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}\Bigr), \qquad (z> L/2).
Para z<-L/2 a mesma forma com os módulos dá, se simplificar, a expressão correspondente (a versão com os módulos é a forma mais geral).

Passo 6

Agora obtemos o campo \vec H e a indução \vec B. Em regiões sem correntes livres \vec H é gradiente negativo do potencial:
\vec H = -\nabla\varphi^{*}.
No eixo há apenas componente axial \,H_z=-d\varphi^{*}/dz. Diferenciando a forma simplificada válida para |z|>L/2 (vamos escrever a expressão que vale para os pontos fora independentemente do sinal de z; a derivada das partes |\cdot| já foi tratada ao supor |z|>L/2) chegamos a
H_z(z)=-\frac{d\varphi^{*}}{dz} =-\frac{M}{2}\left(\frac{z-L/2}{\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}}-\frac{z+L/2}{\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}}\right).
Rearranjando o sinal:
\boxed{\displaystyle H_z(z)=\frac{M}{2}\left(\frac{z+L/2}{\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}}-\frac{z-L/2}{\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}}\right), \quad \text{para }|z|>L/2.}
Finalmente, a indução magnética no vácuo (fora do ímã) é
\vec B=\mu_0\vec H,
assim, sobre o eixo (componente axial),
\boxed{\displaystyle B_z(z)=\mu_0 H_z(z) =\frac{\mu_0 M}{2}\left(\frac{z+L/2}{\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}}-\frac{z-L/2}{\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}}\right), \quad \text{para }|z|>L/2.}

Passo 7

Breve verificação física (intuitiva): para z\to\infty cada fração tende a 1 e a diferença tende a zero como esperado; a expansão assintótica para z\gg R,L dá o comportamento dipolar com momento magnético total \,m=M(\pi R^2 L), reproduzindo o campo axial de um dipolo \,B_z\approx \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{2m}{z^3}. Isso confirma consistência dimensional e física da expressão.

Resposta

\displaystyle \varphi^{*}(z)=\frac{M}{2}\Bigl(\sqrt{R^{2}+(z-\tfrac{L}{2})^{2}}-|\,z-\tfrac{L}{2}\,| -\sqrt{R^{2}+(z+\tfrac{L}{2})^{2}}+|\,z+\tfrac{L}{2}\,|\Bigr),\quad(|z|>L/2)\n
\displaystyle B_{z}(z)=\frac{\mu_{0}M}{2}\left(\frac{z+\tfrac{L}{2}}{\sqrt{R^{2}+(z+\tfrac{L}{2})^{2}}}-\frac{z-\tfrac{L}{2}}{\sqrt{R^{2}+(z-\tfrac{L}{2})^{2}}}\right),\quad(|z|>L/2)

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