- Um ímã permanente, com a forma de um cilindro circular reto, de comprimento
e raio
, está orientado de maneira que seu eixo de simetria coincida com o eixo z. A origem de sistema de coordenadas está no centro do ímã. Se o cilindro tiver magnetização axial uniforme
determine
em pontos no eixo do cilindro fora do ímã. Determine também a inducão magnética em pontos no eixo do cilindro fora do imã. (18 pontos)
Passo 1
O enunciado dá um ímã na forma de cilindro circular reto com:
- comprimento
, raio , - eixo de simetria coincidindo com o eixo
, - origem no centro do cilindro,
- magnetização axial uniforme
(onde é a magnitude constante).
O que pedem:
- determinar a potencialescalar magnética
em pontos sobre o eixo que estejam fora do ímã (ou seja ); - determinar a indução magnética
(no eixo) nesses mesmos pontos.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
e que o ponto onde se avalia fica sobre o eixo
com
.
Passo 2
Conceito-chave (passo a passo, sem pular etapas): magnetização uniforme gera “cargas magnéticas ligadas” análogas às cargas elétricas. As fórmulas são:
onde
é a densidade volumétrica de carga magnética,
é a densidade superficial de carga magnética na superfície do corpo e
é o vetor normal exterior à superfície. Essas “cargas magnéticas” geram um potencial escalar
que satisfaz a equação de Poisson
e cuja solução integral, análoga ao potencial elétrico, é
Agora aplicando ao nosso caso:
é uniforme, logo
Portanto não há carga volumétrica. A única contribuição vem das superfícies do cilindro. No cilindro existem duas superfícies importantes:
- superfície lateral: normal radial
ortogonal a , então nessa lateral; - faces (tampas) circulares: em
o normal exterior é e em o normal exterior é . Assim
Conclusão: as cargas magnéticas são duas densidades superficiais uniformes sobre os discos das tampas:
na tampa superior e
na tampa inferior.
Passo 3
Estratégia concreta para calcular
no eixo fora do cilindro: somar os potenciais gerados pelos dois discos com densidades
e
. Para um ponto sobre o eixo a distância
da origem, a contribuição de cada disco depende apenas da distância axial entre o ponto e o plano do disco, por simetria.
Vamos calcular primeiro o potencial de um disco circular de raio
com densidade superficial uniforme
, em um ponto sobre o eixo a uma distância axial
do plano do disco (distância algébrica; depois aplicamos aos discos do cilindro).
Passo 4
Cálculo do potencial de um disco uniformemente “carregado” (análogo elétrico) em um ponto sobre o eixo.
Colocamos o disco no plano
e o ponto de observação em
. Em coordenadas cilíndricas sobre o disco, um elemento de área é
. A distância entre o ponto
e um elemento do disco
é
A contribuição do disco ao potencial (usando a expressão integral com fator
) é
Integramos primeiro em
(dá
) e depois em
. Ficamos com
Agora resolvemos a integral. Observe que
Portanto a integral é imediata:
Logo
Essa fórmula vale para qualquer
(positivo ou negativo); o módulo aparece naturalmente.
Passo 5
Aplicando ao cilindro: temos duas tampas com densidades
no plano
e
no plano
. Para um ponto no eixo em coordenada
a distância axial até a tampa superior é
e até a tampa inferior é
. Somando as contribuições (lembre do fator
já incorporado na expressão do disco), o potencial total é
Essa expressão é válida para qualquer
. Como o enunciado pede pontos fora do ímã, assumimos
. Nessa região os módulos tornam-se simples: para
temos
e
; para
ambos os módulos mudam de sinal, mas a expressão geral acima já é correta. Para simplificar, escrevemos a forma explícita para
:
Organizando os termos lineares em
,
Para
a mesma forma com os módulos dá, se simplificar, a expressão correspondente (a versão com os módulos é a forma mais geral).
Passo 6
Agora obtemos o campo
e a indução
. Em regiões sem correntes livres
é gradiente negativo do potencial:
No eixo há apenas componente axial
. Diferenciando a forma simplificada válida para
(vamos escrever a expressão que vale para os pontos fora independentemente do sinal de
; a derivada das partes
já foi tratada ao supor
) chegamos a
Rearranjando o sinal:
Finalmente, a indução magnética no vácuo (fora do ímã) é
assim, sobre o eixo (componente axial),
Passo 7
Breve verificação física (intuitiva): para
cada fração tende a
e a diferença tende a zero como esperado; a expansão assintótica para
dá o comportamento dipolar com momento magnético total
, reproduzindo o campo axial de um dipolo
. Isso confirma consistência dimensional e física da expressão.