O ponto P(2, y, z) pertence à reta determinada pelos pontos A(3,-1,4) e B(4,-3,-1). Calcule as coordenadas y e z de P.

Passo 1

O enunciado diz que o ponto P(2,y,z) pertence à reta que passa por A(3,-1,4) e B(4,-3,-1). O conteúdo aqui é equação paramétrica de reta no espaço, e vamos precisar do vetor diretor da reta e de um parâmetro t para escrever a posição genérica de um ponto na reta.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor d subtraindo A de B:
d = B - A = (4-3,,-3-(-1),,-1-4) = (1,,-2,,-5)
Logo, a equação paramétrica da reta é
(x,y,z) = (3,-1,4) + t,(1,-2,-5)

Passo 3

Para que o ponto P esteja na reta, suas coordenadas devem satisfazer a forma paramétrica. Em particular, da primeira coordenada temos
3 + t = 2
que implica
t = -1

Passo 4

Substituindo t=-1 nas expressões de y e z da equação paramétrica:
y = -1 - 2t = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1,
z = 4 - 5t = 4 - 5(-1) = 4 + 5 = 9

Resposta

As coordenadas de P são
y = 1, z = 9

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