Considere a matriz . Determine os autovalores e autovetores de A. Determine uma base para cada um dos autoespaços. Verifique se A é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da matriz A=1 & 2 & -1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -2, depois determinar bases dos autoespaços e verificar se ela é diagonalizável. O conteúdo envolve polinômio característico e sistemas (A-lambda I)x=0.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico. Como A é triangular superior, temos
Logo os autovalores são lambda1=1, lambda2=-1 e lambda3=-2.
Passo 4
Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)x=0:
– Para lambda=1:
A-1I=0 & 2 & -1 0 & -2 & 0 0 & 0 & -3
Passo 5
O sistema é
2x2 - x3=0, -2x2=0, -3x3=0
Passo 6
Daí x2=0, x3=0 e x1 fica livre. Um vetor próprio é (1,0,0), logo
E1=ker(A-I)=span(1,0,0)
Passo 7
– Para lambda=-1:
A+I=2 & 2 & -1 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1
Passo 8
O sistema é
2x1+2x2 - x3=0, -x3=0
Passo 9
Daí x3=0 e x1=-x2. Escolhendo x2=1, obtemos (-1,1,0), logo
E-1=ker(A+I)=span(-1,1,0)
Passo 10
– Para lambda=-2:
A+2I=3 & 2 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0
Passo 11
O sistema é
3x1+2x2 - x3=0, x2=0
Passo 12
Daí x2=0 e x3=3x1. Escolhendo x1=1, temos (1,0,3), logo
E-2=ker(A+2I)=span(1,0,3)
Passo 13
Como obtivemos três vetores próprios linearmente independentes (um para cada autovalor distinto), concluímos que A é diagonalizável.
Resposta
Autovalores: lambda=1,-1,-2. Bases dos autoespaços: para lambda=1, base {(1,0,0)}; para lambda=-1, base {(-1,1,0)}; para lambda=-2, base {(1,0,3)}. Como há 3 autovetores independentes, A é diagonalizável.