Encontre a derivada das funções a seguir.
f(x)=ln (9 x^2+e^x).

Passo 1

Então, a gente tem a função $ f(x) = \ln \left(9x^{2} + e^{x}\right) $ e precisa encontrar a sua derivada. Estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas de funções que envolvem logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é muito útil quando temos funções dentro de funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $. Isso significa que precisamos identificar o que é $ u $ na nossa função e depois derivar $ u $.
No nosso caso, $ u = 9x^{2} + e^{x} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $, que é $ u’ $.
A derivada de $ 9x^{2} $ é $ 18x $, porque multiplicamos o expoente (2) pelo coeficiente (9) e diminuímos o expoente em 1.
A derivada de $ e^{x} $ é simplesmente $ e^{x} $, já que $ e^{x} $ é uma função que se deriva para si mesma.
Então, $ u’ = 18x + e^{x} $.

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia, substituímos $ u $ e $ u’ $ na fórmula da derivada do logaritmo:
u

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \ln \left(9x^{2} + e^{x}\right) $ é:
f(x) = ln (9x^2 + e^x)

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