Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}-3 x}{5 x^{2}+1}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: \n
  • Pede para calcular o limite \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^{2}-3x}{5x^{2}+1}. \n
  • A expressão é uma razão (quociente) de dois polinômios em x: o numerador é 2x^{2}-3x e o denominador é 5x^{2}+1. \n
  • A pergunta é: qual é o valor numérico ao qual essa fração se aproxima quando x cresce sem limite, isto é, x\to+\infty.

Passo 2

Ideia principal (intuição): \n
Para x muito grande os termos de maior grau (os que têm maior potência de x) dominam o comportamento de polinômios. Aqui ambos numerador e denominador têm termo de maior grau x^{2}. Portanto esperamos que a razão se aproxime da razão dos coeficientes desses termos principais. Vou mostrar isso de forma algébrica e rigorosa, passo a passo, sem pular etapas.

Passo 3

Método escolhido e por que: \n
Vou dividir numerador e denominador pelo maior potência de x que aparece, que é x^{2}. Isto simplifica a expressão deixando termos que tendem a zero quando x\to+\infty. Esse método é padrão e simples para limites de racionais no infinito.

Passo 4

Dividindo por x^{2}: \n
\frac{2x^{2}-3x}{5x^{2}+1} = \frac{x^{2}\!\left(2-\dfrac{3}{x}\right)}{x^{2}\!\left(5+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}
Como x^{2} é comum em numerador e denominador, podemos simplificar:
\frac{2x^{2}-3x}{5x^{2}+1} = \frac{2-\dfrac{3}{x}}{5+\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 5

Comportamento dos termos simples quando x\to+\infty: \n
  • Temos \dfrac{3}{x}. Quando x\to+\infty esse quociente tende a 0, porque dividir uma constante por um número que cresce sem limite dá zero. Em notação:
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x}=0.
  • Temos \dfrac{1}{x^{2}}. Quando x\to+\infty também tende a 0, ainda mais rápido:
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.

Passo 6

Aplicando propriedades de limites (soma, quociente): \n
Se \lim_{x\to+\infty}a(x)=A e \lim_{x\to+\infty}b(x)=B com B\neq0, então
\lim_{x\to+\infty}\frac{a(x)}{b(x)}=\frac{A}{B}.
Aqui aplicamos isso a
\frac{2-\dfrac{3}{x}}{5+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Já sabemos que \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x}=0 e \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{3}{x}\right)=2 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(5+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=5.
Como o denominador tende a 5\neq0, podemos tomar a razão dos limites:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2-\dfrac{3}{x}}{5+\dfrac{1}{x^{2}}}=\frac{2}{5}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: \n
O resultado \dfrac{2}{5} coincide com a intuição inicial: os termos de maior grau eram 2x^{2} e 5x^{2}, logo a razão tende a \dfrac{2}{5}. Isso é válido sempre que numerador e denominador tiverem o mesmo grau: o limite no infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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