Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: \n
- Pede para calcular o limite
. \n - A expressão é uma razão (quociente) de dois polinômios em
: o numerador é e o denominador é . \n - A pergunta é: qual é o valor numérico ao qual essa fração se aproxima quando
cresce sem limite, isto é, .
Passo 2
Ideia principal (intuição): \n
Para muito grande os termos de maior grau (os que têm maior potência de
) dominam o comportamento de polinômios. Aqui ambos numerador e denominador têm termo de maior grau
. Portanto esperamos que a razão se aproxime da razão dos coeficientes desses termos principais. Vou mostrar isso de forma algébrica e rigorosa, passo a passo, sem pular etapas.
Para
Passo 3
Método escolhido e por que: \n
Vou dividir numerador e denominador pelo maior potência de que aparece, que é
. Isto simplifica a expressão deixando termos que tendem a zero quando
. Esse método é padrão e simples para limites de racionais no infinito.
Vou dividir numerador e denominador pelo maior potência de
Passo 4
Dividindo por
: \n
Como
é comum em numerador e denominador, podemos simplificar:
Passo 5
Comportamento dos termos simples quando
: \n
- Temos
. Quando esse quociente tende a , porque dividir uma constante por um número que cresce sem limite dá zero. Em notação:
- Temos
. Quando também tende a , ainda mais rápido:
Passo 6
Aplicando propriedades de limites (soma, quociente): \n
Se e
com
, então
Se
Aqui aplicamos isso a
Já sabemos que
e
. Portanto
Como o denominador tende a
, podemos tomar a razão dos limites:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: \n
O resultado coincide com a intuição inicial: os termos de maior grau eram
e
, logo a razão tende a
. Isso é válido sempre que numerador e denominador tiverem o mesmo grau: o limite no infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
O resultado