Obtenha os limites:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrarmos o limite da função
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e algum conhecimento sobre substituição e simplificação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o ponto para o qual
está se aproximando, ou seja,
. Isso significa que
está perto de 0,
está perto de -1 e
está perto de 0. Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
Com isso, quando
, temos
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função em termos de
,
e
. Temos:
Substituindo na expressão original:
Vamos expandir
:
Substituindo de volta na função:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão. Observamos que o termo
no numerador e no denominador se cancelam:
Mas note que ainda temos o
no denominador, então precisamos reorganizar melhor:
Passo 5
Para facilitar ainda mais, vamos considerar que
,
e
estão muito próximos de 0. Assim, termos com potências maiores de pequenas quantidades se tornam negligenciáveis. Então, podemos simplificar a expressão mantendo apenas os termos de menor grau:
No numerador:
No denominador:
Portanto, a expressão simplifica para:
Mas precisamos lembrar que, inicialmente, tínhamos
, então
. Quando
,
, o que confirma nossa simplificação.
Passo 6
Agora, voltando à substituição original, percebemos que a simplificação nos levou a uma constante. No entanto, precisamos reconsiderar a presença do termo
no denominador, que na verdade anula o
do numerador, deixando:
Mas, na verdade, houve um erro de sinal na simplificação anterior. Vamos corrigir isso.
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão se aproxima de:
No entanto, o valor original dado na pergunta é
, indicando que devemos reavaliar nossa abordagem.
Passo 7
Vamos tentar uma abordagem diferente. Observando que
, podemos reescrever
, onde
. Substituindo na função original:
Expandindo
:
Substituindo de volta:
Agora, observando que à medida que
,
e
, os termos com
,
,
,
e
tornam-se negligíveis. Assim, a expressão se aproxima de:
Isso ainda não corresponde ao resultado esperado de
, indicando que precisamos considerar os termos de primeiros graus mais cuidadosamente.
Passo 8
Vamos considerar os termos de primeiro grau mais detalhadamente. No numerador:
No denominador:
Portanto, a expressão fica:
Isso sugere que, na verdade, o limite correto é 1. Parece que houve um engano na afirmação inicial do exercício. O limite, conforme mostrado, é 1.
Resposta
O limite
é igual a 1.