Obtenha os limites:
lim (x, y, z) (0,-1,0) y^3-x z^2x^3+y^3+z^3=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrarmos o limite da função y^3 - x z^2x^3 + y^3 + z^3 quando (x, y, z) se aproxima de (0, -1, 0). Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e algum conhecimento sobre substituição e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o ponto para o qual (x, y, z) está se aproximando, ou seja, (0, -1, 0). Isso significa que x está perto de 0, y está perto de -1 e z está perto de 0. Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
u = x, v = y + 1, w = z
Com isso, quando (x, y, z) to (0, -1, 0), temos (u, v, w) to (0, 0, 0).

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função em termos de u, v e w. Temos:
y = v - 1
Substituindo na expressão original:
(v - 1)^3 - u w^2u^3 + (v - 1)^3 + w^3
Vamos expandir (v - 1)^3:
(v - 1)^3 = v^3 - 3v^2 + 3v - 1
Substituindo de volta na função:
v^3 - 3v^2 + 3v - 1 - u w^2u^3 + v^3 - 3v^2 + 3v - 1 + w^3

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão. Observamos que o termo -1 no numerador e no denominador se cancelam:
v^3 - 3v^2 + 3v - u w^2u^3 + v^3 - 3v^2 + 3v + w^3 - 1 = v^3 - 3v^2 + 3v - u w^2u^3 + v^3 - 3v^2 + 3v + w^3 - 1
Mas note que ainda temos o -1 no denominador, então precisamos reorganizar melhor:
v^3 - 3v^2 + 3v - u w^2u^3 + v^3 - 3v^2 + 3v + w^3

Passo 5

Para facilitar ainda mais, vamos considerar que u, v e w estão muito próximos de 0. Assim, termos com potências maiores de pequenas quantidades se tornam negligenciáveis. Então, podemos simplificar a expressão mantendo apenas os termos de menor grau:
No numerador:
3v
No denominador:
3v
Portanto, a expressão simplifica para:
3v3v = 1
Mas precisamos lembrar que, inicialmente, tínhamos y = v - 1, então v = y + 1. Quando y to -1, v to 0, o que confirma nossa simplificação.

Passo 6

Agora, voltando à substituição original, percebemos que a simplificação nos levou a uma constante. No entanto, precisamos reconsiderar a presença do termo -1 no denominador, que na verdade anula o -1 do numerador, deixando:
-1-1 = 1
Mas, na verdade, houve um erro de sinal na simplificação anterior. Vamos corrigir isso.
No numerador:
v^3 - 3v^2 + 3v - u w^2 approx 3v
No denominador:
u^3 + v^3 - 3v^2 + 3v + w^3 approx 3v
Então, a expressão se aproxima de:
3v3v = 1
No entanto, o valor original dado na pergunta é -1, indicando que devemos reavaliar nossa abordagem.

Passo 7

Vamos tentar uma abordagem diferente. Observando que y to -1, podemos reescrever y = -1 + h, onde h to 0. Substituindo na função original:
(-1 + h)^3 - x z^2x^3 + (-1 + h)^3 + z^3
Expandindo (-1 + h)^3:
-1 + 3h - 3h^2 + h^3
Substituindo de volta:
-1 + 3h - 3h^2 + h^3 - x z^2x^3 -1 + 3h - 3h^2 + h^3 + z^3
Agora, observando que à medida que h to 0, x to 0 e z to 0, os termos com h^2, h^3, x z^2, x^3 e z^3 tornam-se negligíveis. Assim, a expressão se aproxima de:
-1-1 = 1
Isso ainda não corresponde ao resultado esperado de -1, indicando que precisamos considerar os termos de primeiros graus mais cuidadosamente.

Passo 8

Vamos considerar os termos de primeiro grau mais detalhadamente. No numerador:
-1 + 3h
No denominador:
-1 + 3h
Portanto, a expressão fica:
-1 + 3h-1 + 3h = 1
Isso sugere que, na verdade, o limite correto é 1. Parece que houve um engano na afirmação inicial do exercício. O limite, conforme mostrado, é 1.

Resposta

O limite lim (x, y, z) (0,-1,0) y^3-x z^2x^3+y^3+z^3 é igual a 1.

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