Resolva as integrais a seguir, evidenciando a técnica de integração utilizada.
integral sen^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin^3(x) , dx. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar integrais envolvendo potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sin^3(x) de uma forma que facilite a integração. Sabemos que sin^2(x) = 1 - cos^2(x), então podemos expressar sin^3(x) como:
sin^3(x) = sin(x) cdot sin^2(x) = sin(x) cdot (1 - cos^2(x))

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral sin^3(x) , dx = integral sin(x) cdot (1 - cos^2(x)) , dx
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar u = cos(x). Então, a derivada de u em relação a x é:
du = -sin(x) , dx Rightarrow -du = sin(x) , dx

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral sin(x) cdot (1 - cos^2(x)) , dx = integral (1 - u^2) cdot (-du) = -integral (1 - u^2) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
-integral (1 - u^2) , du = -( integral 1 , du - integral u^2 , du ) = -( u - u^33 ) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u = cos(x) de volta para a variável original:
-( cos(x) - cos^3(x)3 ) + C = -cos(x) + cos^3(x)3 + C

Resposta

A integral de sin^3(x) em relação a x é:
integral sin^3(x) , dx = -cos(x) + cos^3(x)3 + C

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