A série de Taylor que representa a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}+2} em \mathrm{x}_{0}=3 é,
Selecione a resposta:
A \quad \sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}}(\mathrm{x}-3)^{\mathrm{n}}}{5^{\mathrm{n}+1}}
B \quad \sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}}(\mathrm{x}-3)^{\mathrm{n}}}{5^{\mathrm{n}}}
C \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{5^{n+1}}
D \quad \sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty}(\mathrm{x}-3)^{\mathrm{n}}

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor que representa a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}+2} centrada em \mathrm{x}_{0}=3. Informações dadas:
\; \mathrm{f}(\mathrm{x})=\dfrac{1}{\mathrm{x}+2},
\; \mathrm{x}_{0}=3,
e as alternativas A, B, C, D mostradas no enunciado (vou comparar com elas no final).

Passo 2

Para expandir em torno de \mathrm{x}_{0}=3 é prático escrever a variável deslocada h=\mathrm{x}-3. Assim
\mathrm{x}=3+h,
e
\mathrm{x}+2 = (3+h)+2 = 5+h.
Logo podemos escrever
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{5+h}.

Passo 3

Fatoro 5 para deixar a expressão na forma 1/(1+\text{algo}), que é a forma padrão para usar a série geométrica:
\frac{1}{5+h}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{h}{5}}.
Aqui h=\mathrm{x}-3, então a expressão fica
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{\mathrm{x}-3}{5}}.

Passo 4

Vou usar a série geométrica conhecida: para todo u com |u|<1 vale
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
Breve justificativa intuitiva: a série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n converge para \dfrac{1}{1-r} quando |r|<1. Tomando r=-u obtemos \sum_{n=0}^\infty (-u)^n=\dfrac{1}{1-(-u)}=\dfrac{1}{1+u}, que é a fórmula acima.

Passo 5

Aplico essa fórmula com u=\dfrac{h}{5}=\dfrac{\mathrm{x}-3}{5}. Então
\frac{1}{1+\dfrac{\mathrm{x}-3}{5}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{\mathrm{x}-3}{5}\right)^{n}.
Multiplicando por \dfrac{1}{5} (veja Passo 3) dá
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{\mathrm{x}-3}{5}\right)^{n}.
Agora simplifico as potências de 5:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(\mathrm{x}-3)^{n}}{5^{n+1}}.

Passo 6

Como verificação alternativa (útil para prova): usar a fórmula dos coeficientes de Taylor.
Para \mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}+2)^{-1} calcula-se por indução que
\mathrm{f}^{(n)}(\mathrm{x}) = (-1)^{n} n! (\mathrm{x}+2)^{-n-1}.
Avaliar em \mathrm{x}=3 e dividir por n! (que é o coeficiente de Taylor) dá
\frac{\mathrm{f}^{(n)}(3)}{n!} = \frac{(-1)^{n}}{5^{n+1}},
o que gera a mesma série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(\mathrm{x}-3)^{n}}{5^{n+1}}.

Passo 7

Condição de convergência: a série geométrica usada exige \left|\dfrac{\mathrm{x}-3}{5}\right|<1, ou seja |\mathrm{x}-3|<5. Isso dá o raio de convergência R=5, mas para a questão da alternativa basta que a forma dos termos esteja correta.

Passo 8

Comparando com as alternativas do enunciado, a série obtida
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(\mathrm{x}-3)^{n}}{5^{n+1}}
corresponde exatamente à alternativa A. Força aí — já era!

Resposta

A

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