A série de Taylor que representa a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}+2} em \mathrm{x}_{0}=3 é,
Selecione a resposta:
A \quad \sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}}(\mathrm{x}-3)^{\mathrm{n}}}{5^{\mathrm{n}+1}}
B \quad \sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}}(\mathrm{x}-3)^{\mathrm{n}}}{5^{\mathrm{n}}}
C \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{5^{n+1}}
D \quad \sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty}(\mathrm{x}-3)^{\mathrm{n}}
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor que representa a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}+2} centrada em \mathrm{x}_{0}=3. Informações dadas: \; \mathrm{f}(\mathrm{x})=\dfrac{1}{\mathrm{x}+2}, \; \mathrm{x}_{0}=3,
e as alternativas A, B, C, D mostradas no enunciado (vou comparar com elas no final).
Passo 2
Para expandir em torno de \mathrm{x}_{0}=3 é prático escrever a variável deslocada h=\mathrm{x}-3. Assim
\mathrm{x}=3+h,
e
\mathrm{x}+2 = (3+h)+2 = 5+h.
Logo podemos escrever
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{5+h}.
Passo 3
Fatoro 5 para deixar a expressão na forma 1/(1+\text{algo}), que é a forma padrão para usar a série geométrica:
Vou usar a série geométrica conhecida: para todo u com |u|<1 vale
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
Breve justificativa intuitiva: a série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n converge para \dfrac{1}{1-r} quando |r|<1. Tomando r=-u obtemos \sum_{n=0}^\infty (-u)^n=\dfrac{1}{1-(-u)}=\dfrac{1}{1+u}, que é a fórmula acima.
Passo 5
Aplico essa fórmula com u=\dfrac{h}{5}=\dfrac{\mathrm{x}-3}{5}. Então
Como verificação alternativa (útil para prova): usar a fórmula dos coeficientes de Taylor.
Para \mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}+2)^{-1} calcula-se por indução que
Condição de convergência: a série geométrica usada exige \left|\dfrac{\mathrm{x}-3}{5}\right|<1, ou seja |\mathrm{x}-3|<5. Isso dá o raio de convergência R=5, mas para a questão da alternativa basta que a forma dos termos esteja correta.
Passo 8
Comparando com as alternativas do enunciado, a série obtida