Obtenha os limites da radiância espectral, obtida por Planck, nos casos:
(b) \nu \longrightarrow \infty

Passo 1

O enunciado pede o comportamento assintótico da radiância espectral de Planck
B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\,\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}
quando a frequência \nu cresce sem limite \nu\to\infty. Vamos usar a lei de Planck e propriedades de exponenciais para encontrar esse limite.

Passo 2

Escrevendo a lei de Planck em função de \nu, temos
B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\,\frac{1}{\exp\!\bigl(\tfrac{h\nu}{kT}\bigr) - 1}.
Aqui h é a constante de Planck, k a constante de Boltzmann e c a velocidade da luz.

Passo 3

Quando \nu\to\infty, o argumento
x = \frac{h\nu}{kT}
tende a infinito. Nessas condições, \exp(x) domina o “ -1” do denominador, pois
e^x - 1 \sim e^x \quad\text{para }x\to\infty.

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão de B_\nu, obtemos
B_\nu(T)\;\sim\;\frac{2h\nu^3}{c^2}\,\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}} \;=\;\frac{2h\nu^3}{c^2}\,\exp\!\Bigl(-\frac{h\nu}{kT}\Bigr).
Como \nu^3\ cresce apenas como potência enquanto a exponencial decai muito mais rápido, o produto tende a zero.

Resposta

\lim_{\nu\to\infty}B_\nu(T) = 0.

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