4- Uma bola é lançada para cima com uma velocidade inicial \mathrm{v}_{0}. Determine sua velocidade na metade do seu ponto mais alto h.

Passo 1

O enunciado trata de um lançamento vertical para cima com velocidade inicial \mathrm{v}_0. Queremos encontrar a velocidade do corpo quando ele estiver na altura h/2, sendo h a altura máxima atingida. Vamos usar cinemática de movimento uniformemente variado (aceleração constante -g) e a equação de Torricelli
v^2 = v_0^2 + 2\,a\,\Delta y
com a=-g.

Passo 2

Primeiro, determinamos a altura máxima h atingida pelo corpo. No ponto mais alto a velocidade é zero, então aplicamos
0 = \mathrm{v}_0^2 - 2\,g\,h
daí
h = \frac{\mathrm{v}_0^2}{2\,g}\,.

Passo 3

Agora avaliamos a velocidade v quando o corpo alcança metade dessa altura, isto é \Delta y = h/2 a partir do ponto de lançamento. Usando novamente
v^2 = \mathrm{v}_0^2 - 2\,g\,(h/2)\,.

Passo 4

Substituindo h = \mathrm{v}_0^2/(2\,g) em -2\,g\,(h/2) temos
-2\,g\;\frac{h}{2} = -2\,g\;\frac{1}{2}\;\frac{\mathrm{v}_0^2}{2\,g} = -\frac{\mathrm{v}_0^2}{2}\,.
Logo
v^2 = \mathrm{v}_0^2 - \frac{\mathrm{v}_0^2}{2} = \frac{\mathrm{v}_0^2}{2}\,.

Passo 5

Tirando raiz positiva (pois o objeto ainda sobe), obtemos
v = \sqrt{\frac{\mathrm{v}_0^2}{2}} = \frac{\mathrm{v}_0}{\sqrt{2}}\,.

Resposta

v = \frac{\mathrm{v}_0}{\sqrt{2}}

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