calcule L, o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{y-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)\to(0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\,y - x^3\,}.
O conteúdo é limites em \mathbb{R}^2: para existir o limite, o valor da expressão deve ser o mesmo ao longo de qualquer caminho de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Escolhemos o caminho y=0. Substituindo,
\frac{xy}{y - x^3} = \frac{x\cdot 0}{0 - x^3} = 0.
Logo, ao longo de y=0, o limite vale
\lim_{x\to0}\frac{xy}{y - x^3}=0.

Passo 3

Agora tentamos o caminho y = x^3 + x^4. Substituindo,
\frac{xy}{y - x^3} = \frac{x\,(x^3 + x^4)}{(x^3 + x^4) - x^3} = \frac{x^4 + x^5}{x^4} = 1 + x.
Como x\to0, essa expressão tende a
\lim_{x\to0}(1+x)=1.

Passo 4

Encontramos dois caminhos de aproximação que levam a resultados diferentes: 0 e 1. Portanto a função não se aproxima de um valor único.

Resposta

O limite não existe, pois depende do caminho de aproximação.

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