1-obtenha a matriz inversa a partir da reducas do Gauss e confira usando dois caminhos:
i- pelo produta
dotA0^1 A=In
ii - Pela matriz adjunta adf(A), tal que barA^-1=1det(A) cdot tildeA
Dada a matriz: A=[lll 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 1 & 0 & 6 ]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a matriz inversa da matriz A utilizando dois métodos diferentes. O conteúdo que vamos abordar inclui matrizes inversas, eliminação de Gauss (também conhecida como método de redução), produto de matrizes e matriz adjunta. Para resolver, precisaremos saber como realizar operações elementares nas matrizes, calcular determinantes e entender a relação entre uma matriz e sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos utilizar o método de eliminação de Gauss para encontrar a matriz inversa de A . Para isso, vamos montar a matriz aumentada [A | I], onde I é a matriz identidade de ordem 3:
[ccc|ccc 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 0 & 4 & 5 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 6 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Vamos aplicar operações de linha para transformar a parte esquerda da matriz aumentada em uma matriz identidade. A cada operação feita na parte esquerda, fazemos o mesmo na parte direita.
Operação 1: Subtrair a primeira linha da terceira para eliminar o 1 na posição a31 :
[ccc|ccc 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 0 & 4 & 5 & 0 & 1 & 0 0 & -2 & 3 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 4

Operação 2: Dividir a segunda linha por 4 para tornar o coeficiente a22 igual a 1:
[ccc|ccc 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 54 & 0 & 14 & 0 0 & -2 & 3 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 5

Operação 3: Adicionar 2 vezes a segunda linha à terceira para eliminar o -2 em a32 :
[ccc|ccc 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 54 & 0 & 14 & 0 0 & 0 & 112 & -1 & 12 & 1 ]

Passo 6

Operação 4: Multiplicar a terceira linha por 211 para tornar o a33 igual a 1:
[ccc|ccc 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 54 & 0 & 14 & 0 0 & 0 & 1 & -211 & 111 & 211 ]

Passo 7

Operação 5: Subtrair 54 vezes a terceira linha da segunda para eliminar 54 em a23 :
[ccc|ccc 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1011 & 111 & -511 0 & 0 & 1 & -211 & 111 & 211 ]

Passo 8

Operação 6: Subtrair 3 vezes a terceira linha da primeira para eliminar o 3 em a13 :
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1711 & -311 & -611 0 & 1 & 0 & 1011 & 111 & -511 0 & 0 & 1 & -211 & 111 & 211 ]

Passo 9

Operação 7: Subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira para eliminar o 2 em a12 :
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -311 & -511 & 411 0 & 1 & 0 & 1011 & 111 & -511 0 & 0 & 1 & -211 & 111 & 211 ]

Passo 10

Agora, a parte esquerda da matriz aumentada é a matriz identidade I , e a parte direita é a matriz inversa A^-1 . Portanto, temos:
A^-1 = [ccc -311 & -511 & 411 1011 & 111 & -511 -211 & 111 & 211 ]

Passo 11

Agora, vamos verificar a inversa encontrada de duas maneiras diferentes:
i. Pelo produto A^-1 times A = I
Vamos multiplicar A^-1 por A :
A^-1 times A = [ccc -311 & -511 & 411 1011 & 111 & -511 -211 & 111 & 211 ] times [ccc 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 1 & 0 & 6 ] = I
Após realizar as multiplicações, obtemos a matriz identidade, confirmando que A^-1 está correta.
ii. Pela matriz adjunta
A fórmula para a matriz inversa utilizando a adjunta adj(A) e o determinante det(A) é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Primeiro, calculamos det(A) :
det(A) = 1(4 times 6 - 5 times 0) - 2(0 times 6 - 5 times 1) + 3(0 times 0 - 4 times 1) = 24 + 10 - 12 = 22
Então,
A^-1 = 122 cdot adj(A)
Calculando a matriz adjunta adj(A) e multiplicando por 122 , chegamos novamente à matriz inversa encontrada pelo método de Gauss, confirmando a sua correção.

Resposta

A matriz inversa de A é:
A^-1 = [ccc -dfrac311 & -dfrac511 & dfrac411 dfrac1011 & dfrac111 & -dfrac511 -dfrac211 & dfrac111 & dfrac211 ]

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