Prove que a condição para que três números complexos a, b e c sejam vértices de um triângulo equilátero é que a+j b+j^2 c=0, onde j=e^2 pi i / 3. Prove ainda que tal condição equivale a b+c j+j^2 a=0 e c+j a+j^2 b=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que três pontos do plano complexo, representados pelos complexos a,b,c, formam um triângulo equilátero se, e somente se,
a + j,b + j^2,c = 0
onde
j = e^2pi i/3
é uma raiz primitiva cúbica da unidade. Em seguida, devemos provar que essa condição é equivalente às duas permutações cíclicas
b + j,c + j^2,a = 0 e c + j,a + j^2,b = 0
Para isso vamos usar:
  1. as propriedades de j, em particular j^3 = 1 e 1 + j + j^2 = 0,
  2. a noção de centróide
    m=a+b+c3,
  3. argumentos de rotação e igualdade de módulos no plano complexo.

Passo 2

Propriedades de j. Por definição
j = e^2pi i/3,
logo
j^3 = e^2pi i = 1,
e como 1 + e^2pi i/3 + e^4pi i/3=0, temos
1 + j + j^2 = 0

Passo 3

Redução ao centróide. Defina
m = a+b+c3, A = a - m, B = b - m, C = c - m
Então claramente
A + B + C = (a+b+c) - 3m = 0
Além disso,
a + j,b + j^2,c = 0
se e somente se
(a-m) + j,(b-m) + j^2,(c-m) = 0 ;Long<=ftrightarrow; A + j,B + j^2,C = 0,
pois 1+j+j^2=0 faz cair os termos em m.

Passo 4

Do sistema
A + B + C = 0, A + j,B + j^2,C = 0,
subtraia a primeira equação da segunda para eliminar A:
(A + jB + j^2C) - (A + B + C) = 0 ;Longrightarrow; (j-1)B + (j^2-1)C = 0
Como j-1neq0 e j^2-1neq0, pode-se resolver por comparação e obter
B = j,A e C = j^2,A
Isso mostra que, a partir da origem, os vetores A,B,C têm os mesmos módulos ( |j|=1) e estão separados por rotações de 120^circ. Logo os pontos A,B,C são vértices de um triângulo equilátero centrado na origem. Como (a,b,c) só difere de (A,B,C) por uma translação de vetor m, também formam um triângulo equilátero.

Passo 5

Recíproco. Se a,b,c são vértices de um triângulo equilátero, então, ao subtrair o centróide m, os pontos A,B,C satisfazem
B = j,A e C = j^2,A
ou a outra orientação (trocando j por j^2), e daí
A + j,B + j^2,C = A + j,(jA) + j^2,(j^2A) = A + j^2A + j^4A = A + j^2A + jA = (1+j+j^2),A = 0
Voltando à posição original soma-se m(1+j+j^2)=0 e obtém-se
a + j,b + j^2,c = 0

Passo 6

Equivalência cíclica. Basta multiplicar
a + j,b + j^2,c = 0
por j e por j^2, usando j^3=1:
  • Multiplicando por j:
j,a + j^2,b + j^3,c = 0 ;Longrightarrow; j,a + j^2,b + c = 0 ;Longrightarrow; c + j,a + j^2,b = 0
  • Multiplicando por j^2:
j^2,a + j^3,b + j^4,c = 0 ;Longrightarrow; j^2,a + b + j,c = 0 ;Longrightarrow; b + j,c + j^2,a = 0

Resposta

Os complexos a,b,c são vértices de um triângulo equilátero se, e somente se,
a + j,b + j^2,c = 0,
e essa igualdade é equivalente às duas formas cíclicas
b + j,c + j^2,a = 0, c + j,a + j^2,b = 0

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