Prove que a condição para que três números complexos
e
sejam vértices de um triângulo equilátero é que
, onde
. Prove ainda que tal condição equivale a
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que três pontos do plano complexo, representados pelos complexos
, formam um triângulo equilátero se, e somente se,
onde
é uma raiz primitiva cúbica da unidade. Em seguida, devemos provar que essa condição é equivalente às duas permutações cíclicas
Para isso vamos usar:
- as propriedades de
, em particular - a noção de centróide
, - argumentos de rotação e igualdade de módulos no plano complexo.
Passo 2
Propriedades de
. Por definição
logo
e como
, temos
Passo 3
Redução ao centróide. Defina
Então claramente
Além disso,
se e somente se
pois
faz cair os termos em
.
Passo 4
Do sistema
subtraia a primeira equação da segunda para eliminar
:
Como
e
, pode-se resolver por comparação e obter
Isso mostra que, a partir da origem, os vetores
têm os mesmos módulos (
) e estão separados por rotações de
. Logo os pontos
são vértices de um triângulo equilátero centrado na origem. Como
só difere de
por uma translação de vetor
, também formam um triângulo equilátero.
Passo 5
Recíproco. Se
são vértices de um triângulo equilátero, então, ao subtrair o centróide
, os pontos
satisfazem
ou a outra orientação (trocando
por
), e daí
Voltando à posição original soma-se
e obtém-se
Passo 6
Equivalência cíclica. Basta multiplicar
por
e por
, usando
:
- Multiplicando por
:
- Multiplicando por
:
Resposta
Os complexos
são vértices de um triângulo equilátero se, e somente se,
e essa igualdade é equivalente às duas formas cíclicas