(3,0) Obtenha a matriz Jacobiana de transformação e demonstre o respectivo elemento infinitesimal de volume em coordenadas:
cilindricas d V=\rho d \rho d \theta d z

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: obter a matriz Jacobiana da transformação de coordenadas cilíndricas para coordenadas Cartesianas e demonstrar o elemento infinitesimal de volume nas coordenadas cilíndricas, que deve resultar em dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.
Informações dadas (explicitadas):
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad z=z,
onde \rho\ge0, \theta varia em torno de 2\pi e z é a coordenada vertical. Não se pede mais nada além de usar essa transformação para achar a matriz Jacobiana e o fator de escala do volume.

Passo 2

O que é a matriz Jacobiana e por que ela importa?
A matriz Jacobiana de uma transformação T:(\rho,\theta,z)\mapsto(x,y,z) é a matriz das derivadas parciais dos componentes de saída em relação às variáveis de entrada. Em notação:
J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,z)},
ou seja J_{ij}=\dfrac{\partial(\text{i-ésimo componente de saída})}{\partial(\text{j-ésima variável de entrada})}éíéá.
Por que a determinante de J aparece no elemento de volume? Porque, em mudança de variáveis para integrais múltiplas, um pequeno paralelogramo (em 2D) ou paralelepípedo (em 3D) no espaço de variáveis (\rho,\theta,z) é mapeado para um paralelepípedo no espaço (x,y,z) cuja volume é multiplicado por |\det J|. Assim:
dV_{x,y,z}=|\det J|\,d\rho\,d\theta\,dz.
Mais adiante veremos o cálculo explícito de \det J.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais das componentes x,y,z em relação a \rho,\theta,z.
Escrevemos as componentes:
x(\rho,\theta,z)=\rho\cos\theta,\qquad y(\rho,\theta,z)=\rho\sin\theta,\qquad z(\rho,\theta,z)=z.
Agora as derivadas parciais (vou mostrar cada entrada claramente):
\frac{\partial x}{\partial \rho}=\cos\theta,\qquad \frac{\partial x}{\partial\theta}=-\rho\sin\theta,\qquad \frac{\partial x}{\partial z}=0,
\frac{\partial y}{\partial \rho}=\sin\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial\theta}=\rho\cos\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial z}=0,
\frac{\partial z}{\partial\rho}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial\theta}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial z}=1.

Passo 4

Montar a matriz Jacobiana com as entradas calculadas. Usando a convenção J_{ij}=\partial(\text{componente }i)/\partial(\text{variável }j)á com a ordem de saída (x,y,z) e a ordem de entrada (\rho,\theta,z), temos:
J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,z)}= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta & 0\\[4pt] \sin\theta & \rho\cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular \det J. Como a matriz tem bloco na parte superior esquerda e 1 no canto inferior direito com zeros na coluna/linha correspondentes, podemos usar a propriedade de determinante por blocos: \det J = 1\cdot\det\begin{pmatrix}\cos\theta & -\rho\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \rho\cos\theta\end{pmatrix}.
Agora calculamos este determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}\cos\theta & -\rho\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \rho\cos\theta\end{pmatrix} = \cos\theta\cdot(\rho\cos\theta) - (-\rho\sin\theta)\cdot\sin\theta.
Simplificando:
= \rho\cos^2\theta + \rho\sin^2\theta = \rho(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\rho.
Portanto
\det J=\rho.
(Observação intuitiva: outra forma de ver isso é usar os vetores coluna \partial\vec r/\partial\rho=(\cos\theta,\sin\theta,0), \partial\vec r/\partial\theta=(-\rho\sin\theta,\rho\cos\theta,0), \partial\vec r/\partial z=(0,0,1) e reconhecer que o determinante é o produto escalar do produto vetorial (\partial\vec r/\partial\rho)\times(\partial\vec r/\partial\theta) com \partial\vec r/\partial z, que dá \rho.)]

Passo 6

Interpretação do sinal e valor absoluto.
A determinante encontrada é \det J=\rho. Como nas coordenadas cilíndricas convencionamos \rho\ge0, temos |\det J|=\rho. Assim o fator de escala que transforma um elemento de volume diferencial é exatamente \rho.
Portanto a fórmula de mudança de variáveis dá
dV_{x,y,z}=|\det J|\,d\rho\,d\theta\,dz=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.

Passo 7

Um exemplo rápido para fixar (uso prático): volume de um cilindro de raio R e altura H. Usando coordenadas cilíndricas,
V=\int_{z=0}^{H}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{R}\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.
Calculando as integrais internas:
\int_{0}^{R}\rho\,d\rho=\frac{R^2}{2},\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,\qquad \int_{0}^{H}dz=H,
logo V=(R^2/2)\cdot(2\pi)\cdot H=\pi R^2 H, que é o resultado conhecido — bom sinal de que o fator \rho está correto.

Resposta

J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,z)}= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta & 0\\[4pt] \sin\theta & \rho\cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz]

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