(3,0) Obtenha a matriz Jacobiana de transformação e demonstre o respectivo elemento infinitesimal de volume em coordenadas:
cilindricas d V=\rho d \rho d \theta d z
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: obter a matriz Jacobiana da transformação de coordenadas cilíndricas para coordenadas Cartesianas e demonstrar o elemento infinitesimal de volume nas coordenadas cilíndricas, que deve resultar em dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.
onde \rho\ge0, \theta varia em torno de 2\pi e z é a coordenada vertical. Não se pede mais nada além de usar essa transformação para achar a matriz Jacobiana e o fator de escala do volume.
Passo 2
O que é a matriz Jacobiana e por que ela importa?
A matriz Jacobiana de uma transformação T:(\rho,\theta,z)\mapsto(x,y,z) é a matriz das derivadas parciais dos componentes de saída em relação às variáveis de entrada. Em notação:
ou seja J_{ij}=\dfrac{\partial(\text{i-ésimo componente de saída})}{\partial(\text{j-ésima variável de entrada})}.
Por que a determinante de J aparece no elemento de volume? Porque, em mudança de variáveis para integrais múltiplas, um pequeno paralelogramo (em 2D) ou paralelepípedo (em 3D) no espaço de variáveis (\rho,\theta,z) é mapeado para um paralelepípedo no espaço (x,y,z) cuja volume é multiplicado por |\det J|. Assim:
dV_{x,y,z}=|\det J|\,d\rho\,d\theta\,dz.
Mais adiante veremos o cálculo explícito de \det J.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais das componentes x,y,z em relação a \rho,\theta,z.
Montar a matriz Jacobiana com as entradas calculadas. Usando a convenção J_{ij}=\partial(\text{componente }i)/\partial(\text{variável }j) com a ordem de saída (x,y,z) e a ordem de entrada (\rho,\theta,z), temos:
Calcular \det J. Como a matriz tem bloco na parte superior esquerda e 1 no canto inferior direito com zeros na coluna/linha correspondentes, podemos usar a propriedade de determinante por blocos: \det J = 1\cdot\det\begin{pmatrix}\cos\theta & -\rho\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \rho\cos\theta\end{pmatrix}.
(Observação intuitiva: outra forma de ver isso é usar os vetores coluna \partial\vec r/\partial\rho=(\cos\theta,\sin\theta,0), \partial\vec r/\partial\theta=(-\rho\sin\theta,\rho\cos\theta,0), \partial\vec r/\partial z=(0,0,1) e reconhecer que o determinante é o produto escalar do produto vetorial (\partial\vec r/\partial\rho)\times(\partial\vec r/\partial\theta) com \partial\vec r/\partial z, que dá \rho.)]
Passo 6
Interpretação do sinal e valor absoluto.
A determinante encontrada é \det J=\rho. Como nas coordenadas cilíndricas convencionamos \rho\ge0, temos |\det J|=\rho. Assim o fator de escala que transforma um elemento de volume diferencial é exatamente \rho.