Verifique se os limites das seguintes funçōes dadas existem no ponto (0,0) :
f(x, y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y}

Passo 1

Enunciado e o que se pede: verificar se o limite no ponto (0,0) da função
f(x,y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y}
existe. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y}.
  • O ponto onde queremos o limite é (0,0).
  • Importante notar que a função não está definida onde x^{2}+y=0 (essas são singularidades do denominador), então devemos evitar pontos da vizinhança que façam o denominador zerar.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma didática): o limite de uma função de duas variáveis em (0,0) existe e vale L quando, para qualquer caminho que leve (x,y) a (0,0), os valores de f(x,y) se aproximam de L. Uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas sequências ou dois caminhos diferentes que vão para (0,0) e que produzam limites distintos de f. Se encontrarmos dois caminhos com limites diferentes, então o limite global não existe. Vamos aplicar isso aqui.

Passo 3

Análise do limite ao longo do eixo y=0 (um caminho simples):
  • Substituímos y=0 em f:
f(x,0)=\frac{x^{3}+0^{3}}{x^{2}+0}=\frac{x^{3}}{x^{2}}=x\quad\text{(para }x\neq 0\text{).}
  • Ao aproximar x\to 0 (i.e., aproximar (x,0)\to(0,0)), obtemos
\lim_{x\to 0} f(x,0)=\lim_{x\to 0} x = 0.
Conclusão parcial: ao longo do caminho y=0 o valor limite é 0.

Passo 4

Ideia para encontrar outro caminho que dê um limite diferente: notar que o denominador é x^{2}+y. Se escolhermos curvas onde y é próximo de -x^{2} o denominador fica pequeno; podemos ajustar a aproximação para obter diferentes comportamentos. Uma escolha conveniente é a família de curvas
y = -x^{2} + a x^{3},
onde a é uma constante fixa diferente de zero. Primeiro verificamos que essas curvas realmente se aproximam de (0,0): quando x\to 0 temos y\to 0, logo (x,y)\to(0,0). Também verificamos o domínio: substituindo,
x^{2}+y = x^{2}+(-x^{2}+a x^{3}) = a x^{3},
que é diferente de zero para x\neq 0 quando a\neq 0. Portanto para a\neq 0 e x pequeno e não nulo, os pontos estão no domínio de f e podemos avaliar f nessas curvas.

Passo 5

Cálculo do limite de f ao longo da curva y=-x^{2}+a x^{3}. Vamos desenvolver cuidadosamente y^{3} usando o binômio:
y^{3}=(-x^{2}+a x^{3})^{3}.
Expandindo (mostro os termos iniciais relevantes):
(-x^{2}+a x^{3})^{3}=(-x^{2})^{3}+3(-x^{2})^{2}(a x^{3})+ \text{termos de ordem maior}.
Calculando os primeiros termos explicitamente:
(-x^{2})^{3}=-x^{6},
3(-x^{2})^{2}(a x^{3})=3\cdot x^{4}\cdot a x^{3}=3a x^{7}.
Os demais termos têm ordem x^{8} ou maior. Portanto, para x pequeno,
y^{3}=-x^{6}+3a x^{7}+O(x^{8}).
Agora o numerador:
x^{3}+y^{3}=x^{3}-x^{6}+3a x^{7}+O(x^{8}).
O denominador já vimos que é
x^{2}+y=a x^{3}.
Então a função ao longo dessa curva é
f\bigl(x,\,-x^{2}+a x^{3}\bigr)=\frac{x^{3}-x^{6}+3a x^{7}+O(x^{8})}{a x^{3}}.
Dividindo termo a termo por a x^{3}:
f\bigl(x,\,-x^{2}+a x^{3}\bigr)=\frac{1}{a}\bigl(1 - x^{3} + 3a x^{4} + O(x^{5})\bigr).
Tomando x\to 0 obtemos
\lim_{x\to 0} f\bigl(x,\,-x^{2}+a x^{3}\bigr)=\frac{1}{a}.

Passo 6

Interpretação e conclusão final:
  • Pelo Passo 3, ao longo de y=0 o limite é 0.
  • Pelo Passo 5, ao longo das curvas y=-x^{2}+a x^{3} o limite é \dfrac{1}{a}. Escolhendo, por exemplo, a=1 obtemos limite igual a 1; escolhendo a=2 obtemos 1/2; e para a=-1 obtemos -1. Logo existem caminhos que dão limites diferentes entre si e diferentes do valor 0 obtido no Passo 3.
  • Como o limite ao redor de (0,0) teria de ser único (independente do caminho), essa dependência do caminho implica que o limite da função em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados