Verifique se os limites das seguintes funçōes dadas existem no ponto
:
Passo 1
Enunciado e o que se pede: verificar se o limite no ponto
da função
existe. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto onde queremos o limite é
. - Importante notar que a função não está definida onde
(essas são singularidades do denominador), então devemos evitar pontos da vizinhança que façam o denominador zerar.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma didática): o limite de uma função de duas variáveis em
existe e vale
quando, para qualquer caminho que leve
a
, os valores de
se aproximam de
. Uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas sequências ou dois caminhos diferentes que vão para
e que produzam limites distintos de
. Se encontrarmos dois caminhos com limites diferentes, então o limite global não existe. Vamos aplicar isso aqui.
Passo 3
Análise do limite ao longo do eixo
(um caminho simples):
- Substituímos
em :
- Ao aproximar
(i.e., aproximar ), obtemos
Conclusão parcial: ao longo do caminho
o valor limite é
.
Passo 4
Ideia para encontrar outro caminho que dê um limite diferente: notar que o denominador é
. Se escolhermos curvas onde
é próximo de
o denominador fica pequeno; podemos ajustar a aproximação para obter diferentes comportamentos. Uma escolha conveniente é a família de curvas
onde
é uma constante fixa diferente de zero. Primeiro verificamos que essas curvas realmente se aproximam de
: quando
temos
, logo
. Também verificamos o domínio: substituindo,
que é diferente de zero para
quando
. Portanto para
e
pequeno e não nulo, os pontos estão no domínio de
e podemos avaliar
nessas curvas.
Passo 5
Cálculo do limite de
ao longo da curva
. Vamos desenvolver cuidadosamente
usando o binômio:
Expandindo (mostro os termos iniciais relevantes):
Calculando os primeiros termos explicitamente:
Os demais termos têm ordem
ou maior. Portanto, para
pequeno,
Agora o numerador:
O denominador já vimos que é
Então a função ao longo dessa curva é
Dividindo termo a termo por
:
Tomando
obtemos
Passo 6
Interpretação e conclusão final:
- Pelo Passo 3, ao longo de
o limite é . - Pelo Passo 5, ao longo das curvas
o limite é . Escolhendo, por exemplo, obtemos limite igual a ; escolhendo obtemos ; e para obtemos . Logo existem caminhos que dão limites diferentes entre si e diferentes do valor obtido no Passo 3. - Como o limite ao redor de
teria de ser único (independente do caminho), essa dependência do caminho implica que o limite da função em não existe.
Resposta
O limite não existe.