Verifique se os limites das seguintes funçōes dadas existem no ponto
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o limite da função no ponto
existe. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida por uma expressão racional em
(possivelmente indefinida em porque o denominador é ). - A pergunta é: existe
Nenhuma outra informação gráfica ou numérica foi dada.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa existir limite em duas variáveis: o limite
existe se, ao aproximar
de
por qualquer caminho (retas, curvas, etc.), os valores de
se aproximarem sempre do mesmo número
. Uma estratégia prática para provar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos que chegam a
e cujo limite de
ao longo desses caminhos seja diferente. Se acharmos caminhos com limites distintos, concluímos que o limite geral não existe.
Passo 3
Escolho primeiro caminhos simples: retas que passam pela origem, isto é
com
constante real. Substituo
na expressão de
. Para
:
Agora vou simplificar cada termo explicitando as potências de
.
Passo 4
Calculo os termos:
e o denominador
Substituindo tudo:
Como
podemos simplificar
:
Passo 5
Observação importante: o valor de
depois da simplificação não depende de
— depende apenas de
. Isso significa que, ao aproximar
de
ao longo da reta
, o valor de
tende exatamente para
Ou seja, o limite ao longo da reta de inclinação
é
.
Passo 6
Para mostrar que o limite geral não existe, basta encontrar dois valores de
que produzam limites diferentes. Escolho
(o eixo
) e
(a reta
).
Se
:
Se
:
Portanto, ao aproximar
pela reta
obtemos limite
, e pela reta
obtemos limite
. Como esses resultados são diferentes, o limite geral não pode existir.
Passo 7
Para reforçar e ensinar outra técnica útil: uso coordenadas polares. Faço
,
. Então
e os termos do numerador ficam (cada termo tem fator
):
O denominador é
. Assim, para
,
que é independente de
e depende apenas do ângulo
. Isso mostra que ao aproximar a origem por diferentes direções (valores de
) obtemos, em geral, valores diferentes. Por exemplo, para
(eixo
) obtemos
, e para
obtemos
confirmando os resultados das retas
e
.
Passo 8
Conclusão explicada de forma direta e amigável: como existem caminhos que se aproximam de
e dão limites diferentes (por exemplo 0 e 2), a condição necessária para existir o limite — que todos os caminhos apresentem o mesmo valor — falha. Logo o limite não existe. Força aí nos estudos — esse tipo de problema costuma mesmo pedir só a identificação de caminhos com limites distintos!
Resposta
O limite não existe.