Verifique se os limites das seguintes funçōes dadas existem no ponto (0,0) :
f(x, y)=\frac{6 x^{2} y^{2}+2 x y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite da função no ponto (0,0) existe. A função dada é
f(x,y)=\frac{6x^{2}y^{2}+2xy^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida por uma expressão racional em (x,y) (possivelmente indefinida em (0,0) porque o denominador é (x^{2}+y^{2})^{2}).
  • A pergunta é: existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)\; ?
Nenhuma outra informação gráfica ou numérica foi dada.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa existir limite em duas variáveis: o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe se, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer caminho (retas, curvas, etc.), os valores de f(x,y) se aproximarem sempre do mesmo número L. Uma estratégia prática para provar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos que chegam a (0,0) e cujo limite de f ao longo desses caminhos seja diferente. Se acharmos caminhos com limites distintos, concluímos que o limite geral não existe.

Passo 3

Escolho primeiro caminhos simples: retas que passam pela origem, isto é y=m x com m constante real. Substituo y=mx na expressão de f. Para x\neq 0:
f(x,mx)=\frac{6x^{2}(mx)^{2}+2x(mx)^{3}}{\big(x^{2}+(mx)^{2}\big)^{2}}.
Agora vou simplificar cada termo explicitando as potências de x.

Passo 4

Calculo os termos:
6x^{2}(mx)^{2}=6x^{2}m^{2}x^{2}=6m^{2}x^{4},
2x(mx)^{3}=2x m^{3}x^{3}=2m^{3}x^{4},
e o denominador
\big(x^{2}+(mx)^{2}\big)^{2}=\big(x^{2}(1+m^{2})\big)^{2}=x^{4}(1+m^{2})^{2}.
Substituindo tudo:
f(x,mx)=\frac{6m^{2}x^{4}+2m^{3}x^{4}}{x^{4}(1+m^{2})^{2}}.
Como x\neq 0 podemos simplificar x^{4}:
f(x,mx)=\frac{6m^{2}+2m^{3}}{(1+m^{2})^{2}}.

Passo 5

Observação importante: o valor de f(x,mx) depois da simplificação não depende de x — depende apenas de m. Isso significa que, ao aproximar (x,y) de (0,0) ao longo da reta y=mx, o valor de f(x,y) tende exatamente para
L(m)=\frac{6m^{2}+2m^{3}}{(1+m^{2})^{2}}.
Ou seja, o limite ao longo da reta de inclinação m é L(m).

Passo 6

Para mostrar que o limite geral não existe, basta encontrar dois valores de m que produzam limites diferentes. Escolho m=0 (o eixo x) e m=1 (a reta y=x).
Se m=0:
L(0)=\frac{6\cdot 0^{2}+2\cdot 0^{3}}{(1+0^{2})^{2}}=\frac{0}{1}=0.
Se m=1:
L(1)=\frac{6\cdot 1^{2}+2\cdot 1^{3}}{(1+1^{2})^{2}}=\frac{6+2}{(1+1)^{2}}=\frac{8}{4}=2.
Portanto, ao aproximar (0,0) pela reta y=0 obtemos limite 0, e pela reta y=x obtemos limite 2. Como esses resultados são diferentes, o limite geral não pode existir.

Passo 7

Para reforçar e ensinar outra técnica útil: uso coordenadas polares. Faço x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
x^{2}+y^{2}=r^{2},
e os termos do numerador ficam (cada termo tem fator r^{4}):
6x^{2}y^{2}=6r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta,
2xy^{3}=2r^{4}\cos\theta\sin^{3}\theta.
O denominador é (x^{2}+y^{2})^{2}=r^{4}. Assim, para r>0,
f(x,y)=f(r,\theta)=6\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos\theta\sin^{3}\theta,
que é independente de r e depende apenas do ângulo \theta. Isso mostra que ao aproximar a origem por diferentes direções (valores de \theta) obtemos, em geral, valores diferentes. Por exemplo, para \theta=0 (eixo x) obtemos 0, e para \theta=\pi/4 obtemos
6\cos^{2}\tfrac{\pi}{4}\sin^{2}\tfrac{\pi}{4}+2\cos\tfrac{\pi}{4}\sin^{3}\tfrac{\pi}{4}= \frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2,
confirmando os resultados das retas m=0 e m=1.

Passo 8

Conclusão explicada de forma direta e amigável: como existem caminhos que se aproximam de (0,0) e dão limites diferentes (por exemplo 0 e 2), a condição necessária para existir o limite — que todos os caminhos apresentem o mesmo valor — falha. Logo o limite não existe. Força aí nos estudos — esse tipo de problema costuma mesmo pedir só a identificação de caminhos com limites distintos!

Resposta

O limite não existe.

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