Determine quais das seguintes transformações são aplicações lineares:
\mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{2}
\mathrm{T}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}^{2}
T(x, y)=\left(x^{2}, 1, x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar linearidade de três transformações, mas só está dado de fato uma delas—nomeadamente
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y) = \bigl(x^2,\,1,\,x^2+y^2\bigr).
As outras duas (uma de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2 e outra de \mathbb{R} em \mathbb{R}^2) não têm suas regras especificadas.

Passo 2

Sem a expressão explícita das transformações 1 e 2, não há como testar suas propriedades de aditividade
\bigl[T(u+v)=T(u)+T(v)\bigr] e homogeneidade
\bigl[T(\alpha u)=\alpha\,T(u)\bigr].

Passo 3

Podemos ao menos analisar a única dada:
T(x,y) = \bigl(x^2,\,1,\,x^2+y^2\bigr).
Para ser linear, precisaríamos
  1. T(0,0)=(0,0,0).
  2. T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u).
Verificamos imediatamente que
T(0,0) = (0^2,1,0^2+0^2) = (0,1,0)\neq(0,0,0),
logo já falha a condição mínima de que T(0)=0.

Resposta

Não é possível decidir Sobre as duas primeiras transformações por falta de definição, e a única que está definida
T(x,y)=(x^2,1,x^2+y^2)
não é uma aplicação linear.

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