Obtenha a menor frequência de amostragem necessária para amostrar corretamente os seguintes sinais abaixo, segundo o teorema de amostragem:
x(t)=\cos (2 \pi 2000 t) (R: f_{s}=4000 H z.)

Passo 1

O enunciado pede: “Obter a menor frequência de amostragem necessária para amostrar corretamente o sinal segundo o teorema de amostragem.” O sinal dado é \,x(t)=\cos(2\pi 2000\,t).
Informações dadas:
  • A expressão do sinal é \,x(t)=\cos(2\pi 2000\,t).
  • Não há outras restrições fornecidas (por exemplo, ruído, janelamento, etc.).
O que precisamos encontrar:
  • A menor frequência de amostragem \,f_s que permita recuperar o sinal sem aliasing segundo o teorema de amostragem.

Passo 2

Lembrete fundamental (teorema de amostragem, em palavras simples):
  • Se um sinal é limitado em banda e sua maior componente em frequência é \,f_{\max}, então para amostragem sem perda de informação a frequência de amostragem deve satisfazer
f_s \ge 2\,f_{\max}.
  • Essa quantidade 2\,f_{\max} é chamada de taxa de Nyquist. Aqui:
    • \,f_s é a frequência de amostragem (em Hz).
    • \,f_{\max} é a maior frequência presente no sinal (em Hz).
Explicação curta do porquê: ao amostrar, o espectro do sinal se replica em torno de múltiplos de \,f_s. Para evitar que essas réplicas se sobreponham (aliasing) é preciso que \,f_s seja pelo menos duas vezes a maior frequência do sinal.

Passo 3

Identificar a frequência presente no sinal \,x(t)=\cos(2\pi 2000\,t).
Regra prática: um termo \cos(2\pi f_0 t) tem frequência \,f_0 em Hz. Comparando,
\cos(2\pi 2000\,t)
tem \,f_0 = 2000\\ \text{Hz}.
Também podemos ver pela forma angular: a frequência angular é \omega=2\pi\cdot 2000, e então \,f_0=\dfrac{\omega}{2\pi}=2000\\ \text{Hz}.

Passo 4

Determinar \,f_{\max} do sinal.
Como o sinal é um cosseno puro, seu espectro contém apenas componentes em \pm 2000\\ \text{Hz}. Portanto
f_{\max}=2000\\ \text{Hz}.

Passo 5

Aplicar o teorema de amostragem (fórmula) com o \,f_{\max} encontrado:
f_s \ge 2\,f_{\max}=2\cdot 2000.
Calcule:
f_s \ge 4000\\ \text{Hz}.

Passo 6

Observações práticas e nota pedagógica (para a prova):
  • A menor frequência de amostragem teórica (taxa de Nyquist) é \,f_s=4000\\ \text{Hz}.
  • Na prática, muitas vezes escolhe-se um pouco acima de 4000\\ \text{Hz} para compensar filtros imperfeitos e evitar problemas numéricos. Mas, para questões teóricas, aceitar \,4000\\ \text{Hz} é o esperado.
  • Se \,f_s=4000\\ \text{Hz} exatamente, as réplicas do espectro ficam justapostas sem sobreposição quando se usa filtragem ideal na reconstrução; por isso é o limite mínimo.

Resposta

f_{s}=4000\\ \text{Hz}

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