Obtenha a menor frequência de amostragem necessária para amostrar corretamente os seguintes sinais abaixo, segundo o teorema de amostragem:
(R:
)
Passo 1
O enunciado pede: “Obter a menor frequência de amostragem necessária para amostrar corretamente o sinal segundo o teorema de amostragem.” O sinal dado é
.
Informações dadas:
- A expressão do sinal é
. - Não há outras restrições fornecidas (por exemplo, ruído, janelamento, etc.).
O que precisamos encontrar:
- A menor frequência de amostragem
que permita recuperar o sinal sem aliasing segundo o teorema de amostragem.
Passo 2
Lembrete fundamental (teorema de amostragem, em palavras simples):
- Se um sinal é limitado em banda e sua maior componente em frequência é
, então para amostragem sem perda de informação a frequência de amostragem deve satisfazer
- Essa quantidade
é chamada de taxa de Nyquist. Aqui: -
é a frequência de amostragem (em Hz). -
é a maior frequência presente no sinal (em Hz).
-
Explicação curta do porquê: ao amostrar, o espectro do sinal se replica em torno de múltiplos de
. Para evitar que essas réplicas se sobreponham (aliasing) é preciso que
seja pelo menos duas vezes a maior frequência do sinal.
Passo 3
Identificar a frequência presente no sinal
.
Regra prática: um termo
tem frequência
em Hz. Comparando,
tem
Também podemos ver pela forma angular: a frequência angular é
, e então
Passo 4
Determinar
do sinal.
Como o sinal é um cosseno puro, seu espectro contém apenas componentes em
. Portanto
Passo 5
Aplicar o teorema de amostragem (fórmula) com o
encontrado:
Calcule:
Passo 6
Observações práticas e nota pedagógica (para a prova):
- A menor frequência de amostragem teórica (taxa de Nyquist) é
. - Na prática, muitas vezes escolhe-se um pouco acima de
para compensar filtros imperfeitos e evitar problemas numéricos. Mas, para questões teóricas, aceitar é o esperado. - Se
exatamente, as réplicas do espectro ficam justapostas sem sobreposição quando se usa filtragem ideal na reconstrução; por isso é o limite mínimo.