Questão 3) Obtenção de polos e zeros de uma função de transferência

Considerando as seguintes funções de transferência, encontrar quais são os polos e os zeros e desenhar estes polos e zeros no plano " s ".
\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{1}{4 s+1}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{1}{4s+1},
e pede duas coisas:
  • encontrar os zeros da função de transferência;
  • encontrar os polos da função de transferência;
  • desenhar (ou indicar) esses polos e zeros no plano s.
Informações relevantes fornecidas: o numerador é a constante 1 e o denominador é 4s+1.

Passo 2

O que são zeros e polos (explicação didática e direta, como na prova).
  • Zero: é cada valor de s que zera o numerador da função de transferência. Ou seja, soluções de N(s)=0. Zeros são pontos do plano s onde a resposta em frequência da planta se anula.
  • Polo: é cada valor de s que zera o denominador da função de transferência. Ou seja, soluções de D(s)=0. Polos são pontos do plano s que tornam a função de transferência infinita e determinam estabilidade/dinâmica do sistema.
Regra prática para exame: escreva numerador e denominador, resolva N(s)=0 para zeros e D(s)=0 para polos; se o numerador for constante diferente de zero, não há zeros finitos.

Passo 3

Achar os zeros: resolver N(s)=0.
Aqui o numerador é a constante 1. Então
N(s)=1\neq 0\quad\text{para todo }s.
Conclusão: não existem zeros finitos (ou seja, não há valores finitos de s que façam o numerador zero).
Dica de prova: responda algo como “nenhum zero finito” ou “sem zeros” quando o numerador for constante não nulo.

Passo 4

Achar os polos: resolver D(s)=0.
Temos D(s)=4s+1. Resolva
4s+1=0 \quad\Rightarrow\quad 4s=-1 \quad\Rightarrow\quad s=-\tfrac{1}{4}.
Também em decimal: s=-0{,}25.
Isso significa que existe um único polo simples em s=-\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Forma equivalente útil (para interpretação rápida de ganho e polo):
\frac{1}{4s+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}.
Logo o ganho estático multiplicativo é \tfrac{1}{4}=0{,}25 e o polo aparece como a raiz do fator s+\tfrac{1}{4}, confirmando s=-\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Como desenhar no plano s (instruções passo a passo para fazer rápido na prova):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares: horizontal é o eixo real \Re(s), vertical é o eixo imaginário \Im(s).
  2. Marque o ponto s=-\tfrac{1}{4} no eixo real (à esquerda da origem, a uma distância de 0{,}25 unidade).
  3. Coloque um símbolo de polo (comum: \times) nesse ponto.
  4. Não coloque nenhum símbolo de zero (não há zeros finitos). Se quiser enfatizar, pode anotar “nenhum zero finito” ao lado.
Visual simples (esquemático, sem escala precisa):
Im
|
|
(eixo imaginário)
o-----×-------> Re
-0,25
(origem em o, polo em \times)

Resposta

Zeros: nenhum zero finito.
Polos: s=-\tfrac{1}{4}.

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