- Obtenha os nove primeiros termos da solução geral da equação diferencial abaixo usando série de potências:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, em torno de
, os nove primeiros termos da solução geral da equação
usando série de potências. O ponto
é ordinário, então podemos assumir uma expansão
.
Passo 2
Vamos escrever
Em seguida substituímos em
.
Passo 3
Ao substituir, separamos
Reindexando a primeira soma em
com
e juntando tudo em potências de
, obtemos para
:
Passo 4
O coeficiente de
simplifica para
. Logo a relação de recorrência fica
Isso liga termos de índice
a termos de índice
, gerando duas séries independentes (índices pares e ímpares).
Passo 5
Usando
, calculamos em termos de
e
:
Passo 6
Com isso, os primeiros nove coeficientes
são:
Passo 7
Logo a solução geral em série, até a ordem
, é
Definindo
e
, temos duas séries lineares independentes (pares e ímpares).
Resposta
A expansão até
(nove termos) da solução geral é