1. Obtenha os nove primeiros termos da solução geral da equação diferencial abaixo usando série de potências:
(1+x^2) y^prime prime-4 x y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em torno de x=0, os nove primeiros termos da solução geral da equação
(1+x^2),y''-4x,y'+y=0
usando série de potências. O ponto x=0 é ordinário, então podemos assumir uma expansão
y(x)=sumn=0^inftyanx^n.

Passo 2

Vamos escrever
y(x)=sumn=0^inftyanx^n, y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2
Em seguida substituímos em (1+x^2)y''-4x,y'+y=0.

Passo 3

Ao substituir, separamos
(1+x^2)y''=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 +sumn=2^inftyn(n-1)anx^n,
-4x,y'=-4sumn=1^inftyn,anx^n, y=sumn=0^inftyanx^n
Reindexando a primeira soma em x^m com m=n-2 e juntando tudo em potências de x^m, obtemos para m>=0:
(m+2)(m+1),am+2+l[m(m-1)-4m+1r],am=0

Passo 4

O coeficiente de am simplifica para m^2-5m+1. Logo a relação de recorrência fica
labelrec am+2=-m^2-5m+1(m+2)(m+1),am, m>=0
Isso liga termos de índice m a termos de índice m+2, gerando duas séries independentes (índices pares e ímpares).

Passo 5

Usando eqrefrec, calculamos em termos de a0 e a1:
a2&=-0^2-0+12cdot1,a0=-tfrac12a0, a3&=-1-5+13cdot2,a1=+tfrac12a1, a4&=-4-10+14cdot3,a2=-tfrac524a0, a5&=-9-15+15cdot4,a3=+tfrac18a1, a6&=-16-20+16cdot5,a4=-tfrac148a0, a7&=-25-25+17cdot6,a5=-tfrac1336a1, a8&=-36-30+18cdot7,a6=+tfrac1384a0

Passo 6

Com isso, os primeiros nove coeficientes a0,a1,dots,a8 são:
a0,; a1,; -tfrac12a0,; tfrac12a1,; -tfrac524a0,; tfrac18a1,; -tfrac148a0,; -tfrac1336a1,; tfrac1384a0

Passo 7

Logo a solução geral em série, até a ordem x^8, é
y(x)=sumn=0^8anx^n+cdots =a0l(1-tfrac12x^2-tfrac524x^4-tfrac148x^6+tfrac1384x^8r) +a1l(x+tfrac12x^3+tfrac18x^5-tfrac1336x^7r)+cdots
Definindo C1=a0 e C2=a1, temos duas séries lineares independentes (pares e ímpares).

Resposta

A expansão até x^8 (nove termos) da solução geral é
y(x)=C1l(1-tfrac12x^2-tfrac524x^4-tfrac148x^6+tfrac1384x^8r) +C2l(x+tfrac12x^3+tfrac18x^5-tfrac1336x^7r)+cdots

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