Obtenha 3 números em P.A. de modo que sua soma seja 3 e a soma de seus quadrados seja 11.

Passo 1

O enunciado pede três números em progressão aritmética cuja soma seja 3 e a soma dos quadrados seja 11. Para isso vamos usar o parâmetro padrão de uma P.A.: sejam os termos
a,\quad a+d,\quad a+2d
onde a é o primeiro termo e d a razão.

Passo 2

Impondo a condição da soma igual a 3, temos
a + (a+d) + (a+2d) =3
que simplifica para
3a + 3d =3
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a + d =1 \quad\Rightarrow\quad a = 1 - d.

Passo 3

Agora usamos a soma dos quadrados igual a 11:
a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 =11.
Expandindo e somando,
3a^2 +6ad +5d^2 =11.
Substituindo a = 1 - d na expressão acima resulta em
3(1 - d)^2 +6(1 - d)d +5d^2 =11 \quad\Longrightarrow\quad 3 + 2d^2 =11 \quad\Longrightarrow\quad d^2 =4
\Longrightarrow\quad d = 2 \quad\text{ou}\quad d = -2.

Passo 4

Para cada valor de d encontramos a e os termos da P.A.:
Se d = 2, então a = 1 - 2 = -1 e os termos são
-1,\;1,\;3.
Se d = -2, então a = 1 - (-2) = 3 e os termos são
3,\;1,\;-1.

Resposta

As duas progressões aritméticas que satisfazem as condições são -1,\,1,\,3 e 3,\,1,\,-1.

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