Prove que, se \left(\frac{1}{x+y}, \frac{1}{y+z}, \frac{1}{z+x}\right) é uma P.A., então \left(z^{2}, x^{2}, y^{2}\right) também é.

Passo 1

O enunciado afirma que \bigl(\tfrac{1}{x+y},\,\tfrac{1}{y+z},\,\tfrac{1}{z+x}\bigr) é uma P.A. e pede para mostrar que então \bigl(z^{2},\,x^{2},\,y^{2}\bigr) também é P.A. Vamos usar a definição de P.A. (dois vezes o termo do meio é igual à soma dos extremos) e fazer manipulações algébricas.

Passo 2

Pela definição de P.A., se
\left(\frac{1}{x+y},\;\frac{1}{y+z},\;\frac{1}{z+x}\right)
é P.A., então
2\;\frac{1}{y+z} =\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+x}.

Passo 3

Somamos as frações do lado direito:
\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+x} =\frac{(z+x)+(x+y)}{(x+y)(z+x)} =\frac{2x+y+z}{(x+y)(z+x)}.
Igualando ao lado esquerdo e multiplicando ambos os lados por (y+z)(x+y)(z+x), obtemos
2\,(x+y)(z+x)=(2x+y+z)\,(y+z).

Passo 4

Expandindo cada lado:
2x^2+2xy+2xz+2yz = 2xy+2xz+y^2+2yz+z^2.
Cancelando 2xy, 2xz e 2yz de ambos os lados sobra
2x^2 = y^2 + z^2.

Passo 5

A igualdade 2x^2 = y^2 + z^2 é exatamente a condição de P.A. para a sequência \bigl(z^2,x^2,y^2\bigr), pois em P.A. temos “dois vezes o termo do meio = soma dos extremos”. Portanto \bigl(z^{2},\,x^{2},\,y^{2}\bigr) forma uma P.A.

Resposta

Foi demonstrado que \bigl(z^{2},\,x^{2},\,y^{2}\bigr) está em P.A.

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