Mostre que, se (a, b, c) é uma P.A., então \left(a^{2} b c, a b^{2} c, a b c^{2}\right) também é.

Passo 1

O enunciado diz que (a,b,c) é uma P.A., ou seja, satisfaz
b - a = c - b.
Queremos mostrar que o triplo
\bigl(A,B,C\bigr) = \bigl(a^2 b c,\;a b^2 c,\;a b c^2\bigr)
também é uma P.A.

Passo 2

Para isso, vamos usar a definição de P.A.: três termos formam P.A. se a diferença entre o segundo e o primeiro é igual à diferença entre o terceiro e o segundo. Isto é,
B - A \;=\; C - B.
Aqui definimos
A = a^2 b c, \quad B = a b^2 c, \quad C = a b c^2.

Passo 3

Calculemos as diferenças:
B - A = a b^2 c \;-\; a^2 b c = a b c\,\bigl(b - a\bigr),
C - B = a b c^2 \;-\; a b^2 c = a b c\,\bigl(c - b\bigr).
Mas como (a,b,c) é P.A., temos b - a = c - b. Logo
B - A = a b c\,(b - a) \quad\text{e}\quad C - B = a b c\,(c - b)
são iguais. Portanto B - A = C - B.

Passo 4

Concluímos que (A,B,C) satisfaz a condição de P.A., isto é,
(a^2 b c,\;a b^2 c,\;a b c^2)
é uma progressão aritmética.

Resposta

Logo, se (a,b,c) é P.A., então \bigl(a^2 b c,\;a b^2 c,\;a b c^2\bigr) também forma uma P.A.

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