Obtenha u ortogonal a (3,3,0) tal que |u|=raiz3 e a medida angular entre u e (1,-1,0) seja 30^circ.

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec u=(x,y,z) que seja ortogonal a (3,3,0), tenha norma |vec u|=raiz3 e forme ângulo de 30^circ com (1,-1,0). Vamos usar:
  1. Ortogonalidade via produto escalar.
  2. Norma via soma dos quadrados.
  3. Cosseno do ângulo via produto escalar e normas.

Passo 2

Ortogonality exige
vec ucdot(3,3,0)=3x+3y+0cdot z=0
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y=-x
Assim vec u=(x,-x,z).

Passo 3

A condição |vec u|=raiz3
x^2+(-x)^2+z^2=3 Longrightarrow 2x^2+z^2=3

Passo 4

Seja vec v=(1,-1,0). Temos |vec v|=raiz1^2+(-1)^2=raiz2 e
vec ucdotvec v = xcdot1 +(-x)cdot(-1)+zcdot0 = 2x
O cosseno do ângulo deve ser
cos30^circ=raiz32 =vec ucdotvec v|vec u|;|vec v| =2xraiz3,raiz2 =2xraiz6
Portanto
2xraiz6=raiz32 Longrightarrow 2x=3raiz22 Longrightarrow x=3raiz24

Passo 5

Substituindo x em 2x^2+z^2=3:
2l(3raiz24r)^2+z^2=3 Longrightarrow 2cdot1816+z^2=3 Longrightarrow 3616+z^2=3 Longrightarrow z^2=34
Assim z=pmraiz32.

Resposta

As soluções são
vec u=l(tfrac3raiz24,,-tfrac3raiz24,,tfracraiz32r) ou vec u=l(tfrac3raiz24,,-tfrac3raiz24,,-tfracraiz32r)

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