Sejam A(-1,5,-2), B(1,-2,3) e C(-1,6,2).
Determinar o vetor y sabendo que
-B C+2 A C+8 y+4(B A times C B)=(A C cdot C B) B C+6 y+2(B A+C B)

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A(-1,5,-2), B(1,-2,3), C(-1,6,2)
e pede o vetor y que satisfaz a equação vetorial em R^3:
-,BC+2,AC+8,y+4l(BAtimesCBr) =l(ACcdotCBr),BC +6,y+2l(BA+CBr)
O conteúdo envolve operações vetoriais (soma, múltiplo escalar, produto escalar e vetorial). Para resolver, vamos primeiro calcular os vetores básicos AC,BC,BA,CB.

Passo 2

Calculando cada vetor por diferença de coordenadas:
BC=C-B=(-1-1,,6-(-2),,2-3)=(-2,,8,,-1),
AC=C-A=(-1-(-1),,6-5,,2-(-2))=(0,,1,,4),
BA=A-B=(-1-1,,5-(-2),,-2-3)=(-2,,7,,-5),
CB=B-C=(1-(-1),,-2-6,,3-2)=(2,,-8,,1)

Passo 3

Compute o produto escalar e o produto vetorial que aparecem na equação:
ACcdotCB =(0,1,4)cdot(2,-8,1)=0cdot2+1cdot(-8)+4cdot1=-4,
BAtimesCB =det i&j&k -2&7&-5 2&-8&1 =(-33,,-8,,2)

Passo 4

Escrevendo a equação original
-,BC+2,AC+8,y +4l(BAtimesCBr) =-4,BC+6,y+2,BA+2,CB,
passamos tudo para o primeiro membro e agrupamos os termos com y:
-,BC+2,AC+8,y +4(BAtimesCB) +;4,BC-6,y-2,BA-2,CB =0
Isto dá
2,y +l(-BC+4BC-2,CBr) -2,BA+2,AC +4(BAtimesCB) =0

Passo 5

Note que CB=-BC, logo
-BC+4BC-2,CB =3,BC-2(-BC) =5,BC
Assim a equação fica
2,y+l(5,BC-2,BA +2,AC+4(BAtimesCB)r) =0 Longrightarrow y =-tfrac12l(5,BC-2,BA +2,AC+4(BAtimesCB)r)

Passo 6

Calculamos agora a combinação
5,BC=5(-2,8,-1)=(-10,40,-5),
-2,BA=(-2)(-2,7,-5)=(4,-14,10),
2,AC=2(0,1,4)=(0,2,8),
4(BAtimesCB)=4(-33,-8,2)=(-132,-32,8)
Somando estes vetores obtemos
S=5,BC-2,BA+2,AC +4(BAtimesCB) =(-10,40,-5)+(4,-14,10)+(0,2,8)+(-132,-32,8) =(-138,-4,21)

Passo 7

Finalmente
y =-tfrac12,S =-tfrac12(-138,-4,21) =(69,2,-tfrac212)

Resposta

y=(69,2,-tfrac212).

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