Obtenha uma parametrização vec{r}: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} das seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}, destacando o domínio D :
cilindro circular x^{2}+y^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede para obter uma parametrização \vec{r}:D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 da superfície dada pela equação \;x^{2}+y^{2}=9\; e destacar explicitamente o domínio D.\n
Informações fornecidas:
\;x^{2}+y^{2}=9\; (é a equação de uma superfície em \mathbb{R}^{3}).\n
O que é pedido:
uma função \vec{r}(u,v) que, ao variar (u,v) em um domínio D\subset\mathbb{R}^2, descreva exatamente todos os pontos da superfície \;x^{2}+y^{2}=9\; e indicação clara de qual é esse D.

Passo 2

Ideia geométrica (sem jargão complicado): a equação \;x^{2}+y^{2}=9\; descreve, para cada valor de z, um círculo de raio 3 no plano xy. Portanto a superfície é um cilindro circular de raio 3 cujo eixo é o eixo z (isto é, o cilindro é “vertical” e se estende ao longo de z).\n
Uma maneira natural de parametrizar círculos é usar coordenadas polares: em coordenadas polares, um ponto no plano é escrito como \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\;, onde \;r\ge0\; é o raio e \;\theta\; é o ângulo. Aqui o raio é fixo em \;r=3\;, e precisamos de uma variável extra para representar a altura z. Logo escolhemos duas variáveis parâmetro: \;u\; para o ângulo (circunferência) e \;v\; para a altura z.

Passo 3

Construção explícita da parametrização:\n
escolhemos
\vec{r}(u,v)=\bigl(3\cos u,\;3\sin u,\;v\bigr).
Aqui \;u\; é o ângulo ao redor do eixo z e \;v\; é a coordenada z (a altura). Ou seja, para cada (u,v) obtemos um ponto em \mathbb{R}^3 com coordenadas x=3\cos u, y=3\sin u, z=v.

Passo 4

Escolha do domínio D.\n
Uma escolha típica e clara para o domínio é
D=\{(u,v)\mid 0\le u<2\pi,\;v\in\mathbb{R}\}.
Explicação: \;u\in[0,2\pi)\; percorre uma volta completa ao redor do círculo (os valores \;u=0\; e \;u=2\pi\; representam o mesmo ponto, por isso usamos intervalo semiaberto); \;v\in\mathbb{R}\; permite todas as alturas, pois o cilindro é infinito em z.

Passo 5

Verificação direta de que a parametrização está correta (mostrando que pontos imagens satisfazem a equação):\n
calculemos \;x^{2}+y^{2} para \;x=3\cos u,\;y=3\sin u:
x^{2}+y^{2}=(3\cos u)^{2}+(3\sin u)^{2}=9(\cos^{2}u+\sin^{2}u)=9\cdot 1=9.
Logo cada ponto \vec{r}(u,v) satisfaz \;x^{2}+y^{2}=9\;, portanto a imagem está contida na superfície pedida.

Passo 6

Cobertura (sobrejetividade sobre a superfície):\n
se (x,y,z) está na superfície, então \;x^{2}+y^{2}=9\;, o que implica que existe um ângulo u tal que \;x=3\cos u,\;y=3\sin u\; (por exemplo, u=\operatorname{atan2}(y,x)). Tomando v=z obtemos \vec{r}(u,v)=(x,y,z). Assim todo ponto do cilindro é alcançado por algum (u,v)\in D. Observação: o ângulo u não é único (p.ex. u e u+2\pi dão o mesmo ponto), mas isso não atrapalha a parametrização.

Passo 7

Regularidade (por que é uma parametrização “boa”):\n
vamos calcular as derivadas parciais para checar que pelo menos localmente a parametrização é imersiva (vetores tangentes são linearmente independentes):\n
\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}(u,v)=(-3\sin u,\;3\cos u,\;0), \qquad \frac{\partial\vec{r}}{\partial v}(u,v)=(0,\;0,\;1).
O produto vetorial (em forma exibida) é
\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -3\sin u & 3\cos u & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (3\cos u,\;3\sin u,\;0).
A norma desse vetor é
\bigl\|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}\bigr\| =\sqrt{(3\cos u)^{2}+(3\sin u)^{2}}=3\neq 0.
Como o produto vetorial é não nulo para todo u, os vetores tangentes são linearmente independentes em todos os pontos — isso mostra que a parametrização é regular (sem “dobras” degeneradas).

Passo 8

Observações finais e alternativas:\n
  • Poderíamos também usar outra convenção para o domínio, por exemplo u\in(0,2\pi] ou u\in(-\pi,\pi]; todas descrevem a mesma superfície, apenas mudam a representação do ângulo.\n
  • Se a prova pedir um cilindro de altura limitada, bastaria restringir v a um intervalo finito, por exemplo v\in[a,b], e então D=\{(u,v)\mid 0\le u<2\pi,\;a\le v\le b\}.

Resposta

\displaystyle \vec{r}(u,v)=\bigl(3\cos u,\;3\sin u,\;v\bigr),\qquad D=\{(u,v)\mid 0\le u<2\pi,\;v\in\mathbb{R}\}

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