Dada a função f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, determine, se existir, a derivada direcional de f no ponto (1,-1,2) na direção do vetor v=(2,2,-1). Isto é, \left(\frac{\partial f}{\partial v}(1,-1,2)\right).
Obs.: Use a fórmula alternativa

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f no ponto (1,-1,2) na direção do vetor v=(2,2,-1). Dados fornecidos:
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
o ponto A=(1,-1,2) e o vetor de direção v=(2,2,-1).
A pergunta é: existe a derivada direcional de f em A na direção v e, em caso afirmativo, qual é o seu valor?

Passo 2

Vou usar a “fórmula alternativa” pedida: a derivada direcional de f em A na direção do vetor v pode ser calculada como o produto escalar entre o gradiente de f em A e o vetor unitário na direção de v. Em símbolos:
\frac{\partial f}{\partial v}(A)=\nabla f(A)\cdot u,
onde u é o vetor unitário na direção de v, isto é
u=\frac{v}{\|v\|}.
Explicando as letras: \nabla f(A) é o vetor das derivadas parciais de f avaliadas em A; \|\;.\;\| é a norma (comprimento) do vetor; e \cdot é o produto escalar (soma dos produtos componente a componente).

Passo 3

Calcular o gradiente \nabla f(x,y,z). Para f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} as derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=2z.
Logo o gradiente é
\boxed{\nabla f(x,y,z)=(2x,\,2y,\,2z)}.
Agora avaliamos no ponto A=(1,-1,2):
\nabla f(1,-1,2)=(2\cdot 1,\;2\cdot(-1),\;2\cdot 2)=(2,-2,4).

Passo 4

Calcular o vetor unitário u na direção de v=(2,2,-1). Primeiro a norma de v:
\|v\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
Então
u=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right).

Passo 5

Fazer o produto escalar \nabla f(1,-1,2)\cdot u. Isto é
(2,-2,4)\cdot\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right) =2\cdot\frac{2}{3}+(-2)\cdot\frac{2}{3}+4\cdot\left(-\frac{1}{3}\right).
Calcule passo a passo:
2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3},\qquad (-2)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{4}{3},\qquad 4\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{4}{3}.
Somando:
\frac{4}{3}-\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}.
Portanto a derivada direcional existe e o cálculo pela fórmula alternativa dá -\tfrac{4}{3}.

Resposta

-\frac{4}{3}

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