Dada a função
, determine, se existir, a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Isto é,
.
Obs.: Use a fórmula alternativa
Obs.: Use a fórmula alternativa
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Dados fornecidos:
o ponto
e o vetor de direção
.
A pergunta é: existe a derivada direcional de em
na direção
e, em caso afirmativo, qual é o seu valor?
A pergunta é: existe a derivada direcional de
Passo 2
Vou usar a “fórmula alternativa” pedida: a derivada direcional de
em
na direção do vetor
pode ser calculada como o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário na direção de
. Em símbolos:
onde
é o vetor unitário na direção de
, isto é
Explicando as letras:
é o vetor das derivadas parciais de
avaliadas em
;
é a norma (comprimento) do vetor; e
é o produto escalar (soma dos produtos componente a componente).
Passo 3
Calcular o gradiente
. Para
as derivadas parciais são:
Logo o gradiente é
Agora avaliamos no ponto
:
Passo 4
Calcular o vetor unitário
na direção de
. Primeiro a norma de
:
Então
Passo 5
Fazer o produto escalar
. Isto é
Calcule passo a passo:
Somando:
Portanto a derivada direcional existe e o cálculo pela fórmula alternativa dá
.