Verifique se as derivadas parciais da função f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á, são contínuas no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as derivadas parciais da função
f(x,y)=\begin{cases} \sqrt{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[4pt] 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}
são contínuas no ponto (0,0). Informações dadas e o que precisamos checar:
  • A função vale f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} para todo ponto diferente da origem.
  • Em (0,0) a função é definida como f(0,0)=0.
  • Precisamos (1) determinar as derivadas parciais f_x e f_y quando possível, (2) verificar se f_x(0,0) e f_y(0,0) existem, e (3) verificar se as funções f_x e f_y são contínuas em (0,0).]

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais em pontos (x,y)\neq(0,0). A ideia: tratar u(x,y)=x^2+y^2 e f=\sqrt{u}=u^{1/2}. Para derivar em relação a x usamos a regra da cadeia.
A regra da cadeia (de forma simples): se f(u)=u^{1/2} e u(x,y)=x^2+y^2, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d}{du}\big(u^{1/2}\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora calcule cada parte:
\frac{d}{du}\big(u^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}},\qquad \frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Multiplicando:
f_x(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0).
De modo análogo, diferenciando em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0).
Pequena observação intuitiva: para (x,y)\neq(0,0) podemos pensar em coordenadas polares (r,\theta) com r=\sqrt{x^2+y^2}; então f(x,y)=r e f_x=\cos\theta,\;f_y=\sin\theta (pois x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e f_x=x/r, f_y=y/r).

Passo 3

Agora verificamos as derivadas parciais no ponto (0,0) usando a definição padrão (limite simétrico de duas vias). A definição de derivada parcial em (0,0) é
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},\qquad f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h},
se esses limites existirem.
Calcule f(h,0): para h\neq 0,
f(h,0)=\sqrt{h^2+0^2}=\lvert h\rvert.
Então a diferença quociente para f_x(0,0) é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\lvert h\rvert-0}{h}=\frac{\lvert h\rvert}{h}.
Mas \frac{\lvert h\rvert}{h}=1 se h>0 e \frac{\lvert h\rvert}{h}=-1 se h<0. Portanto os limites laterais não coincidem:
\lim_{h\to 0^+}\frac{\lvert h\rvert}{h}=1,\qquad \lim_{h\to 0^-}\frac{\lvert h\rvert}{h}=-1.
Conclusão: o limite bilateral \lim_{h\to 0}\frac{\lvert h\rvert}{h} não existe, logo
f_x(0,0)\\ \text{não existe}.ã
De forma idêntica para f_y(0,0): f(0,h)=\lvert h\rvert e a diferença quociente dá \lvert h\rvert/h novamente, logo
f_y(0,0)\\ \text{não existe}.ã
Ou seja, as derivadas parciais no próprio ponto (0,0) não existem.

Passo 4

Agora relacionamos existência com continuidade. Para que f_x seja contínua em (0,0) é preciso que:
  1. f_x(0,0) exista (a função precisa estar definida no ponto), e
  2. \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y)=f_x(0,0).
Mas do Passo 3 já vimos que f_x(0,0) não existe (mesmo para f_y). Portanto as funções f_x e f_y não podem ser contínuas em (0,0) — porque uma função não pode ser contínua num ponto onde ela não está definida.

Passo 5

Para reforçar a intuição (e porque isso costuma cair em prova): mesmo se alguém tentasse “forçar” um valor para f_x(0,0), a função f_x(x,y)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} quando (x,y)\neq(0,0) não tem limite único quando (x,y)\to(0,0). Uma maneira simples de ver isso é usar coordenadas polares. Escrevendo x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta com r>0, temos
f_x(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta.
Ao fazer r\to 0 mantendo \theta fixo, f_x tende a \cos\theta, que depende de \theta. Por exemplo:
  • Se caminhamos pela direção do eixo x positivo ( \theta=0), f_x\to 1.
  • Se caminhamos pela direção do eixo y ( \theta=\pi/2), f_x\to 0.
    Como esses limites direcionais dão números diferentes, o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y) não existe. Mesma coisa para f_y(x,y)=\sin\theta.
Isso confirma de outra maneira que não há continuidade das derivadas parciais em (0,0).

Resposta

As derivadas parciais não são contínuas em (0,0); de fato f_x(0,0) e f_y(0,0) não existem.

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