Verifique se as derivadas parciais da função f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right., são contínuas no ponto (0,0).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as derivadas parciais da função
são contínuas no ponto (0,0). Informações dadas e o que precisamos checar:
A função vale f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} para todo ponto diferente da origem.
Em (0,0) a função é definida como f(0,0)=0.
Precisamos (1) determinar as derivadas parciais f_x e f_y quando possível, (2) verificar se f_x(0,0) e f_y(0,0) existem, e (3) verificar se as funções f_x e f_y são contínuas em (0,0).]
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais em pontos (x,y)\neq(0,0). A ideia: tratar u(x,y)=x^2+y^2 e f=\sqrt{u}=u^{1/2}. Para derivar em relação a x usamos a regra da cadeia.
A regra da cadeia (de forma simples): se f(u)=u^{1/2} e u(x,y)=x^2+y^2, então
Pequena observação intuitiva: para (x,y)\neq(0,0) podemos pensar em coordenadas polares (r,\theta) com r=\sqrt{x^2+y^2}; então f(x,y)=r e f_x=\cos\theta,\;f_y=\sin\theta (pois x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e f_x=x/r, f_y=y/r).
Passo 3
Agora verificamos as derivadas parciais no ponto (0,0) usando a definição padrão (limite simétrico de duas vias). A definição de derivada parcial em (0,0) é
Conclusão: o limite bilateral \lim_{h\to 0}\frac{\lvert h\rvert}{h} não existe, logo
f_x(0,0)\\ \text{não existe}.ã
De forma idêntica para f_y(0,0): f(0,h)=\lvert h\rvert e a diferença quociente dá \lvert h\rvert/h novamente, logo
f_y(0,0)\\ \text{não existe}.ã
Ou seja, as derivadas parciais no próprio ponto (0,0) não existem.
Passo 4
Agora relacionamos existência com continuidade. Para que f_x seja contínua em (0,0) é preciso que:
f_x(0,0) exista (a função precisa estar definida no ponto), e
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y)=f_x(0,0).
Mas do Passo 3 já vimos que f_x(0,0) não existe (mesmo para f_y). Portanto as funções f_x e f_y não podem ser contínuas em (0,0) — porque uma função não pode ser contínua num ponto onde ela não está definida.
Passo 5
Para reforçar a intuição (e porque isso costuma cair em prova): mesmo se alguém tentasse “forçar” um valor para f_x(0,0), a função f_x(x,y)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} quando (x,y)\neq(0,0) não tem limite único quando (x,y)\to(0,0). Uma maneira simples de ver isso é usar coordenadas polares. Escrevendo x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta com r>0, temos
Ao fazer r\to 0 mantendo \theta fixo, f_x tende a \cos\theta, que depende de \theta. Por exemplo:
Se caminhamos pela direção do eixo x positivo (\theta=0), f_x\to 1.
Se caminhamos pela direção do eixo y (\theta=\pi/2), f_x\to 0.
Como esses limites direcionais dão números diferentes, o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y) não existe. Mesma coisa para f_y(x,y)=\sin\theta.
Isso confirma de outra maneira que não há continuidade das derivadas parciais em (0,0).
Resposta
As derivadas parciais não são contínuas em (0,0); de fato f_x(0,0) e f_y(0,0) não existem.