Obtenha partial zpartial u e partial zpartial v de dois modos: usando a regra da cadeia e, posteriormente, determinando a função composta z(u, v) e derivando-a em parcialmente em u e em v :
z=x^2+y^2, x=u sen(v), y=v cos (u)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivadas parciais envolvendo a regra da cadeia e funções compostas. Precisamos encontrar as derivadas parciais de z = x^2 + y^2, x = u sen(v), y = v cos(u) em relação a e , onde:
Para isso, vamos usar a regra da cadeia e também substituir as expressões de e diretamente na função para derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u
E similarmente para partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v :

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculamos partial zpartial x = 2x, partial zpartial y = 2y e partial xpartial u = sen(v), partial xpartial v = u cos(v) :
partial ypartial u = -v sen(u), partial ypartial v = cos(u)
Agora, encontramos as derivadas de e em relação a e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
Para partial zpartial u = 2x cdot sen(v) + 2y cdot (-v sen(u)) = 2x sen(v) - 2y v sen(u) :
Para partial zpartial v = 2x cdot u cos(v) + 2y cdot cos(u) = 2u x cos(v) + 2y cos(u) :

Passo 5

Agora, substituímos e 2x sen(v) - 2y v sen(u) = 2(u sen(v)) sen(v) - 2(v cos(u)) v sen(u) = 2u sen^2(v) - 2v^2 cos(u) sen(u) nas expressões acima:
Para 2u x cos(v) + 2y cos(u) = 2u (u sen(v)) cos(v) + 2(v cos(u)) cos(u) = 2u^2 sen(v) cos(v) + 2v cos^2(u) :
Para :

Passo 6

Agora, vamos determinar z = x^2 + y^2 = (u sen(v))^2 + (v cos(u))^2 = u^2 sen^2(v) + v^2 cos^2(u) substituindo partial zpartial u = 2u sen^2(v) + v^2 cdot 2 cos(u) (-sen(u)) = 2u sen^2(v) - 2v^2 cos(u) sen(u) e partial zpartial v = u^2 cdot 2 sen(v) cos(v) + 2v cos^2(u) = 2u^2 sen(v) cos(v) + 2v cos^2(u) na função original e então derivar diretamente.
Substituindo:
Agora, derivamos em relação a e .
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial u = 2u sen^2(v) - 2v^2 cos(u) sen(u) são:

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