Obtenha
e
de dois modos: usando a regra da cadeia e, posteriormente, determinando a função composta
e derivando-a em parcialmente em
e em
:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de derivadas parciais envolvendo a regra da cadeia e funções compostas. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, onde:
Para isso, vamos usar a regra da cadeia e também substituir as expressões de
e
diretamente na função
para derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
E similarmente para
:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, encontramos as derivadas de
e
em relação a
e
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos e
nas expressões acima:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos determinar
substituindo
e
na função original e então derivar diretamente.
Substituindo:
Agora, derivamos
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais de
são: