A vazão de água numa bomba centrífuga que opera a 1750 rpm é 0,0883 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}. O rotor apresenta pás com alturas, b, uniformes e iguais a 50,8 \mathrm{~mm}, \mathrm{r}_{1}=48,3 \mathrm{~mm}, \mathrm{r}_{2}=177,8 \mathrm{~mm}, e ângulo de saída da pá, \beta 2, igual a 23^{\circ}. Admita que o escoamento no rotor é ideal e que a componente tangencial da velocidade absoluta, Cu1, da água entrando na pá é nulo ( \alpha 1=90^{\circ} ). Determine ( \alpha ) a componente tangencial da velocidade na saída do rotor, U2, (b) o aumento de carga ideal, Y , e (c) a potência, P eixo transferida ao fluido.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece dados numéricos. Vou listar claramente o que se pede e os dados disponíveis.
Perguntas:
  • (a) Determinar a componente tangencial da velocidade na saída do rotor, U_2.
  • (b) Determinar o aumento de carga ideal Y (energia específica fornecida pelo rotor).
  • (c) Determinar a potência no eixo transferida ao fluido, P.
Dados fornecidos (retirei do enunciado):
Q = 0{,}0883\\ \mathrm{m^3/s},\quad b = 50{,}8\\ \mathrm{mm} = 0{,}0508\\ \mathrm{m},
r_1 = 48{,}3\\ \mathrm{mm} = 0{,}0483\\ \mathrm{m},\quad r_2 = 177{,}8\\ \mathrm{mm} = 0{,}1778\\ \mathrm{m},
n = 1750\\ \mathrm{rpm},\quad \beta_2 = 23^\circ,
e foi informado que o escoamento no rotor é ideal e que a componente tangencial absoluta na entrada é nula:
C_{u1}=0\quad(\alpha_1=90^\circ).
Observações sobre pressupostos (não dado explicitamente no enunciado, mas usuais):
  • Tomarei a densidade da água como \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} e a gravidade como g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, porque não foram fornecidas.
  • A notação: U é a velocidade tangencial das pás (velocidade periférica), C é a velocidade absoluta do fluido, com componentes tangenciais C_u e radiais C_r. No ponto de saída usamos subíndice 2.

Passo 2

Converter a velocidade de rotação e calcular a velocidade angular \omega e a velocidade periférica na saída U_2.
Explicação teórica curta: a rotação em rpm é transformada em revoluções por segundo dividindo por 60; a velocidade angular é \omega = 2\pi n. A velocidade periférica na borda do rotor é \;U_2=\omega r_2, (é só a relação linear entre velocidade angular e raio).
Cálculos:
n = \frac{1750}{60} = 29{,}166\overline{6}\\ \mathrm{s^{-1}},
\omega = 2\pi n = 2\pi \cdot 29{,}166\overline{6} \approx 183{,}26\\ \mathrm{rad/s},
U_2 = \omega r_2 = 183{,}26 \cdot 0{,}1778 \approx 32{,}57\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Encontrar a componente radial da velocidade absoluta na saída, C_{r2}, usando conservação de vazão (continuidade).
Teoria: para escoamento que atravessa a seção periférica do rotor, a vazão volumétrica é a área lateral do anel vezes a componente radial média do escoamento:
Q = \text{área}_{\text{perif}} \cdot C_{r2} = \bigl(2\pi r_2 b\bigr) C_{r2}.á
Dessa relação isolamos C_{r2}.
Cálculo:
C_{r2} = \frac{Q}{2\pi r_2 b} = \frac{0{,}0883}{2\pi\cdot 0{,}1778\cdot 0{,}0508}.
Calculemos numericamente:
2\pi r_2 b \approx 2\pi\cdot 0{,}1778\cdot 0{,}0508 \approx 0{,}05674\\ \mathrm{m^2},
C_{r2} \approx \frac{0{,}0883}{0{,}05674} \approx 1{,}556\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Relacionar a geometria do triângulo de velocidades na saída com o ângulo de saída da pá \beta_2 e obter a componente tangencial absoluta C_{u2}.
Teoria do triângulo de velocidades (explicado de forma simples): na saída do rotor temos a velocidade absoluta C_2 que tem componentes radial C_{r2} e tangencial C_{u2}. A velocidade relativa do fluido em relação à pá é W_2; a componente tangencial de W_2 é W_{\theta 2}=U_2-C_{u2} (porque em relação ao referencial em rotação a pá “se move” com velocidade U_2). O ângulo da pá à saída, \beta_2, é o ângulo entre W_2 e a tangente; portanto vale
\tan\beta_2 = \frac{C_{r2}}{U_2 - C_{u2}}.
Dessa relação isolamos C_{u2}:
U_2 - C_{u2} = \frac{C_{r2}}{\tan\beta_2}\quad\Rightarrow\quad C_{u2} = U_2 - \frac{C_{r2}}{\tan\beta_2}.
Cálculo numérico:
\tan\beta_2 = \tan 23^\circ \approx 0{,}424475,
\frac{C_{r2}}{\tan\beta_2} \approx \frac{1{,}556}{0{,}424475} \approx 3{,}6656\\ \mathrm{m/s},
C_{u2} = 32{,}57 - 3{,}6656 \approx 28{,}90\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular o aumento de carga ideal Y usando a equação de Euler para máquinas rotodinâmicas.
Teoria: a equação de Euler (para potência/energia ideal trocada entre rotor e fluido) diz que a energia específica (por unidade de massa) fornecida ao fluido é
\Delta e = U_2 C_{u2} - U_1 C_{u1}.
No enunciado foi dado que C_{u1}=0, logo
\Delta e = U_2 C_{u2}.
Observação sobre interpretações: \Delta e tem unidades de \mathrm{m^2/s^2} que são \mathrm{J/kg}. Se quisermos a “carga” em metros (carga manométrica), dividimos por g:
H = \frac{\Delta e}{g}\quad(\mathrm{m}).
Cálculo numérico:
\Delta e = U_2 C_{u2} \approx 32{,}57\cdot 28{,}90 \approx 941{,}4\\ \mathrm{J/kg}.
Convertendo para metros de coluna de água:
H = \frac{941{,}4}{9{,}81} \approx 95{,}96\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a potência no eixo transferida ao fluido, P.
Teoria: a potência fornecida ao fluido é a vazão mássica vezes a energia específica:
\dot{m} = \rho Q,\qquad P = \dot{m}\,\Delta e = \rho Q \Delta e.
(Alternativamente, P=\rho g Q H; as duas formas são equivalentes.)
Cálculo numérico:
\dot{m} = 1000\cdot 0{,}0883 = 88{,}3\\ \mathrm{kg/s},
P = 88{,}3\cdot 941{,}4 \approx 83{.}13\times 10^3\\ \mathrm{W} \approx 83{,}13\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Breve resumo didático-final (para fixar): o fluxo radial no anel periférico deu C_{r2} pela continuidade; o ângulo da pá relacionou C_{r2} e a diferença U_2-C_{u2}; usando Euler (e C_{u1}=0) obtivemos a energia específica \Delta e=U_2 C_{u2}; multiplicando por \rho Q veio a potência. Se na prova você esquecer um dos passos, lembre: 1) direito: calcule U_2 da rotação; 2) calcule C_{r2} por Q/(2\pi r_2 b); 3) use \tan\beta_2=C_{r2}/(U_2-C_{u2}) para achar C_{u2}; 4) Euler dá \Delta e = U_2 C_{u2}-U_1 C_{u1}.

Resposta

U_2 \approx 32{,}57\\ \mathrm{m/s}
Y_{\text{(energia específica)}}=\Delta e \approx 941{,}4\\ \mathrm{J/kg}\quad\text{(equivalente a }H\approx 95{,}96\\ \mathrm{m}\text{)}í
P \approx 8{,}313\times 10^{4}\\ \mathrm{W}\\ (\approx 83{,}13\\ \mathrm{kW})

Exercícios relacionados