Obtenha planos perpendiculares ao plano
.
Passo 1
Beleza, bora lá! O enunciado pede pra gente encontrar planos que sejam perpendiculares ao plano
. Isso significa que precisamos trabalhar com geometria espacial, especificamente com a relação entre planos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a perpendicularidade entre dois planos e usar equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano
é o plano horizontal que chamamos de plano xy. Qualquer plano perpendicular a ele vai ter uma orientação vertical. Ou seja, esses planos ficam “de pé” em relação ao plano xy.
Passo 3
Agora, para achar a equação desses planos, vamos pensar na forma geral de uma equação de plano:
. A perpendicularidade entre dois planos ocorre quando os vetores normais deles são perpendiculares.
Passo 4
O vetor normal do plano
é simplesmente
, porque ele aponta na direção do eixo z. Para que outro plano seja perpendicular a esse, seu vetor normal precisa ser perpendicular a
. Isso significa que o produto escalar entre os vetores normais deve ser zero.
Passo 5
Vamos considerar um vetor normal genérico
para o nosso plano que queremos encontrar. O produto escalar com
é:
Para que os vetores sejam perpendiculares, temos que
.
Passo 6
Com
, a equação do plano fica:
Isso mostra que qualquer plano perpendicular ao plano
não tem a variável
em sua equação, ou seja, eles são paralelos ao eixo z.
Passo 7
Assim, os planos que são perpendiculares ao plano
têm equações da forma:
Onde
,
e
são constantes que determinam a posição e a orientação do plano no espaço.
Resposta
Os planos perpendiculares ao plano
são todos da forma
, onde
,
e
são constantes.