Obtenha o polinômio interpolador, fórmula de Newton, para as funções abaixo, nos pontos dados, e avalie o erro cometido para o ponto a ser interpolado
e
.
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pedem o polinômio interpolador de grau ≤ 2 na forma de Newton para a função
nos pontos - Pedem também avaliar o erro cometido ao usar esse polinômio para interpolar nos pontos (i)
e (ii) . - Dados explícitos: os pontos de interpolação são
e a função .
Passo 2
O método: forma de Newton e fórmula do erro — explicando devagar.
- Forma de Newton (grau 2): o polinômio interpolador
escrito a partir dos pontos é Aqui é o valor da função no ponto (ou seja ), é a diferença dividida de primeira ordem e é a diferença dividida de segunda ordem. - Definições de diferenças divididas (são só razões de diferenças):
- Fórmula do resto (erro) para interpolação com 3 nós (grau 2): existe
no intervalo que contém os pontos tais que Isso significa que o erro depende da terceira derivada de em algum ponto entre nós/entre e os nós. Podemos usar essa fórmula para discutir tamanho do erro (ou calcular um limite/bound) — ou, na prática, calcular o erro real subtraindo de quando computamos numericamente.
Passo 3
Calcular os valores
nos nós (mostrando como calcular).
- Primeiro, para controlar os números:
. - Para
: - Para
: - Para
: - Resumo numérico (arredondado para 6 casas decimais onde útil):
Passo 4
Calcular as diferenças divididas de primeira ordem.
- Usando a fórmula:
- E
Passo 5
Calcular a diferença dividida de segunda ordem
.
- Fórmula:
- Cálculo:
Passo 6
Escrever o polinômio interpolador de Newton (resultado final do interpolador).
- Substituindo os coeficientes encontrados em
obtemos (com os valores numéricos): - Esse é o polinômio de Newton de grau ≤ 2 que interpola
nos três pontos dados. Guarda a forma: primeiro termo valor em , segundo termo coeficiente linear (diferença dividida), terceiro termo coeficiente quadrático (dif. dividida de 2ª ordem) vezes os dois fatores .
Passo 7
Avaliar
no ponto (i)
(passo a passo numérico).
- Calcule as diferenças:
- Termos do polinômio:
- Soma:
Passo 8
Calcular o valor verdadeiro
e o erro real em (i).
- Valor verdadeiro:
- Erro real (diferença
): - Interpretação curta: o erro é grande porque
está fora do intervalo dos nós (extrapolação); o polinômio diverge fortemente fora da região dos pontos de interpolação.
Passo 9
Avaliar
no ponto (ii)
e calcular erro real.
- Diferenças:
- Termos:
- Soma:
- Valor verdadeiro:
- Erro real (ii):
- Interpretação: aqui
está dentro do intervalo coberto pelos nós (entre e ), então o erro é bem menor (cerca de ) do que no caso de extrapolação.
Passo 10
Observações finais, incentivo e verificação rápida do resto teórico.
- A fórmula do resto diz que o erro tem a forma
. Calculamos a terceira derivada simbólica para entender seu comportamento: Para estimativas grossas de bound, pode-se limitar e assim obter um limite superior do erro absoluto. Mas o erro real (calculado subtraindo de ) é o valor mais direto e informativo, que entreguei acima. - Você foi bem chegando até aqui! Se quiser, eu refaço as contas com mais casas decimais ou monto a tabela de diferenças divididas alinhada passo a passo — me diga se quer maior precisão numérica.