Obtenha o polinômio interpolador, fórmula de Newton, para as funções abaixo, nos pontos dados, e avalie o erro cometido para o ponto a ser interpolado \bar{x}=0,23 \mathrm{em}(i) e \bar{x}=1,23 \mathrm{em}(i i).
f(x)=e^{3 x} \sin (x), x_{0}=1,2, x_{1}=1,7 e x_{2}=0,5.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pedem o polinômio interpolador de grau ≤ 2 na forma de Newton para a função f(x)=e^{3x}\sin(x)nos pontos \,x_{0}=1{,}2,\; x_{1}=1{,}7,\; x_{2}=0{,}5.
  • Pedem também avaliar o erro cometido ao usar esse polinômio para interpolar nos pontos (i) \bar{x}=0{,}23 e (ii) \bar{x}=1{,}23.
  • Dados explícitos: os pontos de interpolação são \,x_{0}=1{,}2,\;x_{1}=1{,}7,\;x_{2}=0{,}5 e a função f(x)=e^{3x}\sin x.

Passo 2

O método: forma de Newton e fórmula do erro — explicando devagar.
  • Forma de Newton (grau 2): o polinômio interpolador P_{2}(x) escrito a partir dos pontos \,x_{0},x_{1},x_{2} é P_{2}(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}](x-x_{0})(x-x_{1}).Aqui f[x_{i}] é o valor da função no ponto x_{i} (ou seja f[x_{i}]=f(x_i)), f[x_{i},x_{j}] é a diferença dividida de primeira ordem e f[x_{i},x_{j},x_{k}] é a diferença dividida de segunda ordem.
  • Definições de diferenças divididas (são só razões de diferenças): f[x_{i},x_{j}]=\frac{f(x_{j})-f(x_{i})}{x_{j}-x_{i}}, \qquad f[x_{i},x_{j},x_{k}]=\frac{f[x_{j},x_{k}]-f[x_{i},x_{j}]}{x_{k}-x_{i}}.
  • Fórmula do resto (erro) para interpolação com 3 nós (grau 2): existe \xi no intervalo que contém os pontos tais que R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}).Isso significa que o erro depende da terceira derivada de f em algum ponto \xi entre nós/entre x e os nós. Podemos usar essa fórmula para discutir tamanho do erro (ou calcular um limite/bound) — ou, na prática, calcular o erro real subtraindo P_{2}(x) de f(x) quando computamos numericamente.

Passo 3

Calcular os valores f(x_{i}) nos nós (mostrando como calcular).
  • Primeiro, para controlar os números: f(x)=e^{3x}\sin x.
  • Para x_{0}=1{,}2: f(1{,}2)=e^{3\cdot1{,}2}\sin(1{,}2)=e^{3{,}6}\sin(1{,}2)\approx 36{,}59823444\cdot 0{,}9320390859\approx 34{,}110980.
  • Para x_{1}=1{,}7: f(1{,}7)=e^{3\cdot1{,}7}\sin(1{,}7)=e^{5{,}1}\sin(1{,}7)\approx 164{,}021895\cdot 0{,}9916648105\approx 162{,}654776.
  • Para x_{2}=0{,}5: f(0{,}5)=e^{3\cdot0{,}5}\sin(0{,}5)=e^{1{,}5}\sin(0{,}5)\approx 4{,}4816890703\cdot 0{,}4794255386\approx 2{,}148639.
  • Resumo numérico (arredondado para 6 casas decimais onde útil): f(1{,}2)\approx 34{,}110980,\qquad f(1{,}7)\approx 162{,}654776,\qquad f(0{,}5)\approx 2{,}148639.

Passo 4

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem.
  • Usando a fórmula: f[x_{0},x_{1}]=\frac{f(1{,}7)-f(1{,}2)}{1{,}7-1{,}2} =\frac{162{,}654776-34{,}110980}{0{,}5}\approx\frac{128{,}543796}{0{,}5}\approx 257{,}087592.
  • E f[x_{1},x_{2}]=\frac{f(0{,}5)-f(1{,}7)}{0{,}5-1{,}7} =\frac{2{,}148639-162{,}654776}{-1{,}2} =\frac{-160{,}506137}{-1{,}2}\approx 133{,}755114.

Passo 5

Calcular a diferença dividida de segunda ordem f[x_{0},x_{1},x_{2}].
  • Fórmula: f[x_{0},x_{1},x_{2}] =\frac{f[x_{1},x_{2}]-f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}} =\frac{133{,}755114-257{,}087592}{0{,}5-1{,}2}.
  • Cálculo: \text{numerador} = -123{,}332478,\qquad \text{denom.}= -0{,}7
f[x_{0},x_{1},x_{2}]\approx \frac{-123{,}332478}{-0{,}7}\approx 176{,}189254.

Passo 6

Escrever o polinômio interpolador de Newton (resultado final do interpolador).
  • Substituindo os coeficientes encontrados em P_{2}(x)=f(x_{0})+f[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}](x-x_{0})(x-x_{1}),obtemos (com os valores numéricos): P_{2}(x)\approx 34{,}110980+257{,}087592\,(x-1{,}2)+176{,}189254\,(x-1{,}2)(x-1{,}7).
  • Esse é o polinômio de Newton de grau ≤ 2 que interpola f nos três pontos dados. Guarda a forma: primeiro termo valor em x_0, segundo termo coeficiente linear (diferença dividida), terceiro termo coeficiente quadrático (dif. dividida de 2ª ordem) vezes os dois fatores (x-x_0)(x-x_1).

Passo 7

Avaliar P_{2} no ponto (i) \bar{x}=0{,}23 (passo a passo numérico).
  • Calcule as diferenças: \bar{x}-x_{0}=0{,}23-1{,}2=-0{,}97,\qquad \bar{x}-x_{1}=0{,}23-1{,}7=-1{,}47.
  • Termos do polinômio: T_{1}=257{,}087592\cdot(-0{,}97)\approx -249{,}374964,
T_{2}=176{,}189254\cdot(-0{,}97)\cdot(-1{,}47)\approx 176{,}189254\cdot 1{,}4259\approx 251{,}228257.
  • Soma: P_{2}(0{,}23)\approx 34{,}110980-249{,}374964+251{,}228257\approx 35{,}964273.

Passo 8

Calcular o valor verdadeiro f(0{,}23) e o erro real em (i).
  • Valor verdadeiro: f(0{,}23)=e^{3\cdot0{,}23}\sin(0{,}23)=e^{0{,}69}\sin(0{,}23)\approx 1{,}993716\cdot0{,}227202095\approx 0{,}45298.
  • Erro real (diferença f-P_{2}): \text{erro em (i)}=f(0{,}23)-P_{2}(0{,}23)\approx 0{,}45298-35{,}964273\approx -35{,}511295.
  • Interpretação curta: o erro é grande porque \bar{x}=0{,}23 está fora do intervalo dos nós (extrapolação); o polinômio diverge fortemente fora da região dos pontos de interpolação.

Passo 9

Avaliar P_{2} no ponto (ii) \bar{x}=1{,}23 e calcular erro real.
  • Diferenças: \bar{x}-x_{0}=1{,}23-1{,}2=0{,}03,\qquad \bar{x}-x_{1}=1{,}23-1{,}7=-0{,}47.
  • Termos: T_{1}=257{,}087592\cdot0{,}03\approx 7{,}712628,
T_{2}=176{,}189254\cdot0{,}03\cdot(-0{,}47)=176{,}189254\cdot(-0{,}0141)\approx -2{,}484268.
  • Soma: P_{2}(1{,}23)\approx 34{,}110980+7{,}712628-2{,}484268\approx 39{,}339340.
  • Valor verdadeiro: f(1{,}23)=e^{3\cdot1{,}23}\sin(1{,}23)=e^{3{,}69}\sin(1{,}23)\approx 40{,}044712\cdot0{,}942485\approx 37{,}741511.
  • Erro real (ii): \text{erro em (ii)}=f(1{,}23)-P_{2}(1{,}23)\approx 37{,}741511-39{,}339340\approx -1{,}597829.
  • Interpretação: aqui \bar{x}=1{,}23 está dentro do intervalo coberto pelos nós (entre 0{,}5 e 1{,}7), então o erro é bem menor (cerca de 1{,}6) do que no caso de extrapolação.

Passo 10

Observações finais, incentivo e verificação rápida do resto teórico.
  • A fórmula do resto diz que o erro tem a forma \dfrac{f^{(3)}(\xi)}{6}\prod (x-\text{nós})ó. Calculamos a terceira derivada simbólica para entender seu comportamento: f^{(3)}(x)=e^{3x}\big(18\sin x+26\cos x\big).Para estimativas grossas de bound, pode-se limitar |18\sin x+26\cos x|\le\sqrt{18^{2}+26^{2}}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10} e assim obter um limite superior do erro absoluto. Mas o erro real (calculado subtraindo P_{2} de f) é o valor mais direto e informativo, que entreguei acima.
  • Você foi bem chegando até aqui! Se quiser, eu refaço as contas com mais casas decimais ou monto a tabela de diferenças divididas alinhada passo a passo — me diga se quer maior precisão numérica.

Resposta

P_{2}(x)\approx 34{,}110980+257{,}087592\,(x-1{,}2)+176{,}189254\,(x-1{,}2)(x-1{,}7)
\text{erro em (i) (}\bar{x}=0{,}23\text{)}\approx -35{,}511295
\text{erro em (ii) (}\bar{x}=1{,}23\text{)}\approx -1{,}597829

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