Obtenha o polinômio interpolador, fórmula de Newton, para as funções abaixo, nos pontos dados, e avalie o erro cometido para o ponto a ser interpolado
e
.
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pede-se o polinômio interpolador na forma de Newton para a função
nos pontos . - Pede-se também a avaliação do erro cometido ao aproximar
por esse polinômio em dois pontos: - (i)
, - (ii)
.
- (i)
Informações relevantes dadas:
- A função
está explicitamente dada: . - Temos três nós:
, , . - Como temos três nós, construiremos um polinômio de grau até 2 (quadrático) na forma de Newton com diferenças divididas de ordem 0, 1 e 2.
Passo 2
Breve aula: o que é a forma de Newton com diferenças divididas e a fórmula do resto (erro).
- A forma de Newton do polinômio interpolador de grau
em nós é
Aqui
é simplesmente
e as diferenças divididas são definidas recursivamente por
e assim por diante.
- A interpretação prática: cada termo acrescenta uma correção que usa produtos
e a diferença dividida correspondente. - Resto (fórmula do erro) para um polinômio de grau
(usando 3 nós) é
para algum
entre os nós e
. Aqui
é a terceira derivada de
. Para a nossa função
temos
Assim o resto pode ser estimado em módulo por
onde
é o intervalo que contém os nós e o ponto
. Como
, uma cota simples é
Isso será útil para dar uma cota do erro (bound).
Passo 3
Cálculo dos valores
nos nós. (Vou usar aproximações numéricas para
; mantenho precisão suficiente para a prova.)
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Cálculo das diferenças divididas de ordem 1 (entre pares consecutivos).
- Diferença dividida entre
e : - Diferença dividida entre
e :
Passo 5
Cálculo da diferença dividida de ordem 2 (usando as duas anteriores).
Passo 6
Escrevendo o polinômio na forma de Newton com os coeficientes calculados.
A forma de Newton com nossos valores é
Substituindo os números:
Se preferir a forma polinomial expandida (útil às vezes):
logo, ao expandir e somar termos, obtemos
(Aqui dei os coeficientes com precisão compatível com os cálculos numéricos anteriores.)
Passo 7
Avaliação passo a passo de
em
— cálculo detalhado (método direto usando forma de Newton).
- Calcule os fatores:
- Termos do polinômio:
- Soma:
(Arredondei para a precisão compatível:
.)
Passo 8
Cálculo do valor exato aproximado
e do erro (diferença
) no ponto
.
-
Calculamos
.
Usando a expansão em série para(ou uma calculadora), obtemos logo -
Erro real:Ou seja, o erro é aproximadamente
. -
Cota pelo resto teórico: usando
, Observação: o erro realestá dentro dessa cota.
Passo 9
Avaliação passo a passo de
em
(extrapolação), detalhe dos cálculos.
- Calcule os fatores:
- Termos do polinômio:
- Soma:
Passo 10
Cálculo do valor exato aproximado
e do erro em
; também cota teórica.
- Valor real aproximado:
Usando expansão em série para (ou calculadora) obtemos então - Erro real:
Ou seja, erro aproximadamente . Isso é maior que o erro em porque está bem fora do intervalo dos nós (extrapolação). - Cota teórica (usando
): Observação: a cota é mais frouxa (maior) que o erro real, mas confirma que o erro pode crescer ao extrapolar; o erro real está dentro da cota .
Resposta
Erro em
Erro em