Obtenha o polinômio interpolador, fórmula de Newton, para as funções abaixo, nos pontos dados, e avalie o erro cometido para o ponto a ser interpolado \bar{x}=0,23 \mathrm{em}(i) e \bar{x}=1,23 \mathrm{em}(i i).
f(x)=\cos (x)+2 x, x_{0}=0,1, x_{1}=0,3 e x_{2}=0,5.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se o polinômio interpolador na forma de Newton para a função f(x)=\cos(x)+2x nos pontos \,x_0=0,1\,,\,x_1=0,3\,,\,x_2=0,5.
  • Pede-se também a avaliação do erro cometido ao aproximar f por esse polinômio em dois pontos:
    • (i) \bar{x}=0,23,
    • (ii) \bar{x}=1,23.
Informações relevantes dadas:
  • A função f está explicitamente dada: f(x)=\cos(x)+2x.
  • Temos três nós: \,x_0=0{,}1, \,x_1=0{,}3, \,x_2=0{,}5.
  • Como temos três nós, construiremos um polinômio de grau até 2 (quadrático) na forma de Newton com diferenças divididas de ordem 0, 1 e 2.

Passo 2

Breve aula: o que é a forma de Newton com diferenças divididas e a fórmula do resto (erro).
  • A forma de Newton do polinômio interpolador de grau n em nós x_0,\dots,x_n é
P_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots.
Aqui f[x_i] é simplesmente f(x_i) e as diferenças divididas são definidas recursivamente por
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i}, \qquad f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i},
e assim por diante.
  • A interpretação prática: cada termo acrescenta uma correção que usa produtos (x-x_0)(x-x_1)\cdots e a diferença dividida correspondente.
  • Resto (fórmula do erro) para um polinômio de grau 2 (usando 3 nós) é
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
para algum \xi entre os nós e x. Aqui f^{(3)} é a terceira derivada de f. Para a nossa função f(x)=\cos x+2x temos
f'(x)=-\sin x+2,\quad f''(x)=-\cos x,\quad f^{(3)}(x)=\sin x.
Assim o resto pode ser estimado em módulo por
|R_2(x)|\le \frac{\max_{t\in I}|\sin t|}{6}\,| (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) |
onde I é o intervalo que contém os nós e o ponto x. Como |\sin t|\le1, uma cota simples é
|R_2(x)|\le \frac{1}{6}\,| (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) |.
Isso será útil para dar uma cota do erro (bound).

Passo 3

Cálculo dos valores f(x_i)=\cos(x_i)+2x_i nos nós. (Vou usar aproximações numéricas para \cos; mantenho precisão suficiente para a prova.)
  • Para \,x_0=0{,}1: \cos(0{,}1)\approx 0{,}9950041653 \quad\Rightarrow\quad f(0{,}1)=\cos(0{,}1)+2\cdot0{,}1\approx 0{,}9950041653+0{,}2=1{,}1950041653.
  • Para \,x_1=0{,}3: \cos(0{,}3)\approx 0{,}9553364891 \quad\Rightarrow\quad f(0{,}3)=0{,}9553364891+2\cdot0{,}3=0{,}9553364891+0{,}6=1{,}5553364891.
  • Para \,x_2=0{,}5: \cos(0{,}5)\approx 0{,}8775825620 \quad\Rightarrow\quad f(0{,}5)=0{,}8775825620+2\cdot0{,}5=0{,}8775825620+1{,}0=1{,}8775825620.

Passo 4

Cálculo das diferenças divididas de ordem 1 (entre pares consecutivos).
  • Diferença dividida entre x_0 e x_1: f[x_0,x_1]=\frac{f(0{,}3)-f(0{,}1)}{0{,}3-0{,}1} =\frac{1{,}5553364891-1{,}1950041653}{0{,}2} =\frac{0{,}3603323238}{0{,}2}=1{,}801661619.
  • Diferença dividida entre x_1 e x_2: f[x_1,x_2]=\frac{f(0{,}5)-f(0{,}3)}{0{,}5-0{,}3} =\frac{1{,}8775825620-1{,}5553364891}{0{,}2} =\frac{0{,}3222460729}{0{,}2}=1{,}6112303645.

Passo 5

Cálculo da diferença dividida de ordem 2 (usando as duas anteriores).
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{1{,}6112303645-1{,}801661619}{0{,}5-0{,}1} =\frac{-0{,}1904312545}{0{,}4}=-0{,}47607813625.

Passo 6

Escrevendo o polinômio na forma de Newton com os coeficientes calculados.
A forma de Newton com nossos valores é
P(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1).
Substituindo os números:
P(x)\approx 1{,}1950041653 + 1{,}801661619\,(x-0{,}1) -0{,}47607813625\,(x-0{,}1)(x-0{,}3).
Se preferir a forma polinomial expandida (útil às vezes):
(x-0{,}1)(x-0{,}3)=x^2-0{,}4x+0{,}03,
logo, ao expandir e somar termos, obtemos
P(x)\approx 1{,}0005556593 + 1{,}9920928735\,x -0{,}47607813625\,x^2.
(Aqui dei os coeficientes com precisão compatível com os cálculos numéricos anteriores.)

Passo 7

Avaliação passo a passo de P em \bar{x}=0{,}23 — cálculo detalhado (método direto usando forma de Newton).
  • Calcule os fatores: \bar{x}-0{,}1=0{,}13,\qquad \bar{x}-0{,}3=-0{,}07.
  • Termos do polinômio: T_0=f(0{,}1)=1{,}1950041653,
T_1=f[x_0,x_1]\cdot(\bar{x}-0{,}1)=1{,}801661619\cdot0{,}13\approx0{,}2342160105,
T_2=f[x_0,x_1,x_2]\cdot(\bar{x}-0{,}1)(\bar{x}-0{,}3) =-0{,}47607813625\cdot(0{,}13\cdot-0{,}07) =-0{,}47607813625\cdot(-0{,}0091)\approx0{,}0043311110.
  • Soma: P(0{,}23)\approx 1{,}1950041653 + 0{,}2342160105 + 0{,}0043311110 \approx 1{,}4335512868.
(Arredondei para a precisão compatível: P(0{,}23)\approx1{,}4335512868.)

Passo 8

Cálculo do valor exato aproximado f(0{,}23) e do erro (diferença f-P) no ponto \bar{x}=0{,}23.
  • Calculamos f(0{,}23)=\cos(0{,}23)+2\cdot0{,}23.
    Usando a expansão em série para \cos (ou uma calculadora), obtemos
    \cos(0{,}23)\approx 0{,}9736664193,
    logo
    f(0{,}23)\approx 0{,}9736664193 + 0{,}46 = 1{,}4336664193.
  • Erro real:
    E(0{,}23)=f(0{,}23)-P(0{,}23)\approx 1{,}4336664193 - 1{,}4335512868 \approx 0{,}0001151325.
    Ou seja, o erro é aproximadamente 1{,}15\times10^{-4}.
  • Cota pelo resto teórico: usando |f^{(3)}(t)|=|\sin t|\le1,
    |R_2(0{,}23)|\le \frac{1}{6}\,| (0{,}23-0{,}1)(0{,}23-0{,}3)(0{,}23-0{,}5) | =\frac{1}{6}\,|0{,}13\cdot(-0{,}07)\cdot(-0{,}27)|=\frac{1}{6}\cdot0{,}002457 \approx 0{,}0004095.
    Observação: o erro real 0{,}0001151 está dentro dessa cota.

Passo 9

Avaliação passo a passo de P em \bar{x}=1{,}23 (extrapolação), detalhe dos cálculos.
  • Calcule os fatores: \bar{x}-0{,}1=1{,}13,\qquad \bar{x}-0{,}3=0{,}93.
  • Termos do polinômio: T_0=f(0{,}1)=1{,}1950041653,
T_1=1{,}801661619\cdot1{,}13 \approx 2{,}0358776295,
T_2=-0{,}47607813625\cdot(1{,}13\cdot0{,}93) =-0{,}47607813625\cdot1{,}0509\approx -0{,}5003105134.
  • Soma: P(1{,}23)\approx 1{,}1950041653 + 2{,}0358776295 - 0{,}5003105134 \approx 2{,}7305712814.

Passo 10

Cálculo do valor exato aproximado f(1{,}23) e do erro em \bar{x}=1{,}23; também cota teórica.
  • Valor real aproximado: f(1{,}23)=\cos(1{,}23)+2\cdot1{,}23.Usando expansão em série para \cos (ou calculadora) obtemos \cos(1{,}23)\approx 0{,}334235,então f(1{,}23)\approx 0{,}334235 + 2{,}46 = 2{,}794235.
  • Erro real: E(1{,}23)=f(1{,}23)-P(1{,}23)\approx 2{,}794235 - 2{,}7305712814 \approx 0{,}0636637186.Ou seja, erro aproximadamente 6{,}366\times10^{-2}. Isso é maior que o erro em \bar{x}=0{,}23 porque \bar{x}=1{,}23 está bem fora do intervalo dos nós (extrapolação).
  • Cota teórica (usando |\sin t|\le1): |R_2(1{,}23)|\le \frac{1}{6}\,|(1{,}23-0{,}1)(1{,}23-0{,}3)(1{,}23-0{,}5)| =\frac{1}{6}\,|1{,}13\cdot0{,}93\cdot0{,}73| =\frac{1}{6}\cdot0{,}766157\approx 0{,}1276928.Observação: a cota é mais frouxa (maior) que o erro real, mas confirma que o erro pode crescer ao extrapolar; o erro real 0{,}06366 está dentro da cota 0{,}12769.

Resposta

P(x)\approx 1{,}1950041653 + 1{,}801661619\,(x-0{,}1) -0{,}47607813625\,(x-0{,}1)(x-0{,}3)
Erro em \bar{x}=0{,}23: E(0{,}23)\approx 0{,}00011513
Erro em \bar{x}=1{,}23: E(1{,}23)\approx 0{,}06366372

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