(2.5 pontos) Calcule a integral de superfície \iint_{S} f(x, y, z) d S, onde f(x, y, z)=z e S é a parte da superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície \iint_{S} f(x,y,z)\,dS com f(x,y,z)=z, onde S é a parte da superfície \,z^{2}=x^{2}+y^{2}\, que fica entre os planos \,z=1 e \,z=3.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • A superfície é a superfície cônica dada por \,z^{2}=x^{2}+y^{2}\,.\n
  • A região considerada é a porção dessa superfície com \,1\le z\le 3\,.\n
  • A função a integrar é f(x,y,z)=z.\n
  • Precisamos calcular \iint_{S} z\,dS sobre a porção acima indicada.\n

Passo 2

O que é uma integral de superfície de uma função escalar?\n
Se uma superfície S é parametrizada por \mathbf{r}(u,v), a integral de superfície de uma função escalar f é dada por
\iint_{S} f\,dS = \iint_{D} f(\mathbf{r}(u,v))\,\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\|\,du\,dv,
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais da parametrização e D é o domínio dos parâmetros (u,v).\n
Outra forma prática: se a superfície é o gráfico z=g(x,y), então
dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy,
e a integral fica \iint f(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy. Vou usar parametrização em coordenadas cilíndricas porque a superfície é um cone (simetria radial) — isso simplifica muito as contas.

Passo 3

Identificar qual parte do cone estamos integrando: a equação \,z^{2}=x^{2}+y^{2}\, implica z=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Entre z=1 e z=3 estamos na nappe superior, ou seja z=+\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\n
Em coordenadas cilíndricas usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Como z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r, uma boa parametrização da porção S é
\mathbf{r}(r,\theta) = \big(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r\big),
com os parâmetros variando em
1\le r\le 3,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Motivo: para pontos do cone com z entre 1 e 3, temos r=z, então r varia de 1 a 3.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais da parametrização e o produto vetorial.\n
Derivadas:
\mathbf{r}_r = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial r} = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;1),
\mathbf{r}_\theta = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} = (-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
Produto vetorial \mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta. Vou calcular componente a componente usando a regra de Sarrus/ determinante:
\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos\theta & \sin\theta & 1 \\\\ - r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (-r\cos\theta,\; -r\sin\theta,\; r).
Agora a norma:
\big\|\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\big\| = \sqrt{(-r\cos\theta)^2+(-r\sin\theta)^2+r^2} = \sqrt{r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+r^2} = \sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2}\,r.

Passo 5

Logo o elemento de área é
dS=\big\|\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\big\|\,dr\,d\theta = \sqrt{2}\,r\,dr\,d\theta.
(Observação didática: dá para obter o mesmo resultado com a fórmula do gráfico z=g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}. Nesse caso g_x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} e g_y=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, daí 1+g_x^2+g_y^2=2, e multiplicando pelo jacobiano r de dx\,dy em cilíndricas chega-se em dS=\sqrt{2}\,r\,dr\,d\theta.)

Passo 6

Expressar a função a integrar na parametrização: f(x,y,z)=z e, na parametrização, z=r. Portanto
f(\mathbf{r}(r,\theta)) = r.
O integrando f\,dS fica
r\cdot dS = r\cdot(\sqrt{2}\,r\,dr\,d\theta) = \sqrt{2}\,r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 7

Montar e calcular a integral dupla nos limites determinados:
\iint_{S} z\,dS = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{3} \sqrt{2}\,r^{2}\,dr\,d\theta.
Separando fatores:
\iint_{S} z\,dS = \sqrt{2}\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{1}^{3} r^{2}\,dr\right).
Calcular cada integral:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
\int_{1}^{3} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{3} = \frac{3^{3}-1^{3}}{3} = \frac{27-1}{3} = \frac{26}{3}.
Multiplicando,
\iint_{S} z\,dS = \sqrt{2}\cdot 2\pi\cdot \frac{26}{3} = \frac{52\pi\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{52\pi\sqrt{2}}{3}

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