(2.5 pontos) Calcule a integral de superfície \iint_{S} f(x, y, z) d S, onde f(x, y, z)=z e S é a parte da superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=3.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície \iint_{S} f(x,y,z)\,dS com f(x,y,z)=z, onde S é a parte da superfície \,z^{2}=x^{2}+y^{2}\, que fica entre os planos \,z=1 e \,z=3.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
A superfície é a superfície cônica dada por \,z^{2}=x^{2}+y^{2}\,.\n
A região considerada é a porção dessa superfície com \,1\le z\le 3\,.\n
A função a integrar é f(x,y,z)=z.\n
Precisamos calcular \iint_{S} z\,dS sobre a porção acima indicada.\n
Passo 2
O que é uma integral de superfície de uma função escalar?\n
Se uma superfície S é parametrizada por \mathbf{r}(u,v), a integral de superfície de uma função escalar f é dada por
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais da parametrização e D é o domínio dos parâmetros (u,v).\n
Outra forma prática: se a superfície é o gráfico z=g(x,y), então
dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy,
e a integral fica \iint f(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy. Vou usar parametrização em coordenadas cilíndricas porque a superfície é um cone (simetria radial) — isso simplifica muito as contas.
Passo 3
Identificar qual parte do cone estamos integrando: a equação \,z^{2}=x^{2}+y^{2}\, implica z=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Entre z=1 e z=3 estamos na nappe superior, ou seja z=+\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\n
Em coordenadas cilíndricas usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Como z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r, uma boa parametrização da porção S é
(Observação didática: dá para obter o mesmo resultado com a fórmula do gráfico z=g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}. Nesse caso g_x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} e g_y=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, daí 1+g_x^2+g_y^2=2, e multiplicando pelo jacobiano r de dx\,dy em cilíndricas chega-se em dS=\sqrt{2}\,r\,dr\,d\theta.)
Passo 6
Expressar a função a integrar na parametrização: f(x,y,z)=z e, na parametrização, z=r. Portanto