Obtenha o polinômio de Taylor de grau 2
f(x, y)=\cos x+\operatorname{sen}(x y)+y
no ponto (0,0).
A. 1+y+x y+\frac{x^{2}}{2}
B. 1+y-x y-\frac{x^{2}}{2}
C. 1+y+(x y)^{2}-\frac{x^{2}}{2}
D. 1+y+x y-\frac{x^{2}}{2}
E. 1+y+x-\frac{x^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\cos x+\operatorname{sen}(x y)+y
no ponto (0,0) e pede: obter o polinômio de Taylor de grau 2 de f centrado em (0,0).
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Função: }f(x,y)=\cos x+\operatorname{sen}(x y)+y,\\\ &\text{Ponto de expansão: }(0,0),\\\ &\text{Grau pedido: }2. \end{aligned}çãã

Passo 2

Vou usar a fórmula do polinômio de Taylor de segundo grau para funções de duas variáveis centrado em (0,0). Essa fórmula é uma forma organizada de escrever os termos constantes, lineares e quadráticos usando derivadas parciais. A expressão é:
T_2(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y+\tfrac{1}{2}\big(f_{xx}(0,0)\,x^2+2f_{xy}(0,0)\,x y+f_{yy}(0,0)\,y^2\big).
Explicando cada símbolo (devagar, como num amigo explicando):
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x (segura y fixo).
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y (segura x fixo).
  • f_{xx},f_{xy},f_{yy} são as segundas derivadas parciais (por exemplo, f_{xy} é derivar em x e depois em y).
  • Avaliamos todas essas derivadas no ponto (0,0) e colocamos na fórmula para obter o polinômio de grau 2.

Passo 3

Calculemos primeiro o valor da função no ponto:
f(0,0)=\cos 0+\operatorname{sen}(0\cdot 0)+0=1+0+0=1.

Passo 4

Agora as derivadas parciais de primeira ordem (vou mostrar passo a passo como derivar cada termo).
A função é soma de três termos, então derivamos termo a termo.
Derivada parcial em x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(\cos x)+\frac{\partial}{\partial x}(\operatorname{sen}(x y))+\frac{\partial}{\partial x}(y).
  • \frac{\partial}{\partial x}(\cos x)=-\sin x.
  • Para \operatorname{sen}(x y), trate y como constante: \frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(x y)=\cos(x y)\cdot y (regra da cadeia).
  • \frac{\partial}{\partial x}(y)=0 porque y é tratado como constante.
    Logo
f_x(x,y)=-\sin x+\cos(x y)\,y.
Avaliação em (0,0):
f_x(0,0)=-\sin 0+\cos 0\cdot 0=0+1\cdot 0=0.
Derivada parcial em y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(\cos x)+\frac{\partial}{\partial y}(\operatorname{sen}(x y))+\frac{\partial}{\partial y}(y).
  • \frac{\partial}{\partial y}(\cos x)=0 (tratamos x como constante).
  • \frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(x y)=\cos(x y)\cdot x (regra da cadeia).
  • \frac{\partial}{\partial y}(y)=1.
    Logo
f_y(x,y)=\cos(x y)\,x+1.
Avaliação em (0,0):
f_y(0,0)=\cos 0\cdot 0+1=0+1=1.
Resumo até agora: f(0,0)=1, f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=1.

Passo 5

Agora as segundas derivadas parciais (detalhando as contas para você poder reproduzir na prova).
Começo de f_x(x,y)=-\sin x+\cos(x y)\,y.
Derivando em x novamente:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(-\sin x)+\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos(x y)\,y\big).
  • \frac{\partial}{\partial x}(-\sin x)=-\cos x.
  • Para \cos(x y)\,y é produto: y é constante frente a x. Então \frac{\partial}{\partial x}(\cos(x y)\,y)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\cos(x y)=y\cdot(-\sin(x y))\cdot y=-\sin(x y)\,y^2.
    Portanto
f_{xx}(x,y)=-\cos x-\sin(x y)\,y^2.
Avaliação em (0,0):
f_{xx}(0,0)=-\cos 0-\sin 0\cdot 0^2=-1-0=-1.
Agora f_{xy} (derivada de f_x em relação a y):
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(-\sin x+\cos(x y)\,y\big).
  • \frac{\partial}{\partial y}(-\sin x)=0.
  • Para \cos(x y)\,y use regra do produto: derivada é \frac{\partial}{\partial y}\cos(x y)\cdot y+\cos(x y)\cdot 1. E \frac{\partial}{\partial y}\cos(x y)=-\sin(x y)\cdot x. Portanto
f_{xy}(x,y)=-\sin(x y)\,x\,y+\cos(x y).
Avaliação em (0,0):
f_{xy}(0,0)=-\sin 0\cdot 0\cdot 0+\cos 0=0+1=1.
Finalmente f_{yy} (derivada de f_y em relação a y):
Lembrando f_y(x,y)=\cos(x y)\,x+1.
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(\cos(x y)\,x)+\frac{\partial}{\partial y}(1).
  • \frac{\partial}{\partial y}(\cos(x y)\,x)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\cos(x y)=x\cdot(-\sin(x y))\cdot x=-\sin(x y)\,x^2.
  • \frac{\partial}{\partial y}(1)=0.
    Logo
f_{yy}(x,y)=-\sin(x y)\,x^2.
Avaliação em (0,0):
f_{yy}(0,0)=-\sin 0\cdot 0^2=0.
Resumo das segundas derivadas no ponto: f_{xx}(0,0)=-1, f_{xy}(0,0)=1, f_{yy}(0,0)=0.

Passo 6

Agora montamos o polinômio T_2 substituindo na fórmula do Passo 2:
\begin{aligned} T_2(x,y)&=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y+\tfrac{1}{2}\big(f_{xx}(0,0)\,x^2+2f_{xy}(0,0)\,x y+f_{yy}(0,0)\,y^2\big)\\[6pt] &=1+0\cdot x+1\cdot y+\tfrac{1}{2}\big((-1)\,x^2+2\cdot 1\cdot x y+0\cdot y^2\big)\\[6pt] &=1+y+\tfrac{1}{2}\big(-x^2+2x y\big)\\[6pt] &=1+y+x y-\tfrac{x^2}{2}. \end{aligned}
Como verificação rápida (meteórico): usando séries de Taylor de uma variável sabemos \cos x=1-\tfrac{x^2}{2}+\text{ord}(x^4) e \operatorname{sen}(x y)=x y+\text{ord}((x y)^3). Somando com y dá exatamente 1+y+x y-\tfrac{x^2}{2}+ termos de ordem >2, então bate com o resultado.]

Resposta

\;1+y+x y-\dfrac{x^{2}}{2}

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