Obtenha o polinômio de Taylor de grau 2
no ponto
.
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
C.
D.
E.
Passo 1
O enunciado dá a função
no ponto
e pede: obter o polinômio de Taylor de grau
de
centrado em
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vou usar a fórmula do polinômio de Taylor de segundo grau para funções de duas variáveis centrado em
. Essa fórmula é uma forma organizada de escrever os termos constantes, lineares e quadráticos usando derivadas parciais. A expressão é:
Explicando cada símbolo (devagar, como num amigo explicando):
-
é a derivada parcial de em relação a (segura fixo). -
é a derivada parcial de em relação a (segura fixo). -
são as segundas derivadas parciais (por exemplo, é derivar em e depois em ). - Avaliamos todas essas derivadas no ponto
e colocamos na fórmula para obter o polinômio de grau .
Passo 3
Calculemos primeiro o valor da função no ponto:
Passo 4
Agora as derivadas parciais de primeira ordem (vou mostrar passo a passo como derivar cada termo).
A função é soma de três termos, então derivamos termo a termo.
A função é soma de três termos, então derivamos termo a termo.
Derivada parcial em
:
-
. - Para
, trate como constante: (regra da cadeia). -
porque é tratado como constante.
Logo
Avaliação em
:
Derivada parcial em
:
-
(tratamos como constante). -
(regra da cadeia). -
.
Logo
Avaliação em
:
Resumo até agora:
,
,
.
Passo 5
Agora as segundas derivadas parciais (detalhando as contas para você poder reproduzir na prova).
Começo de
.
Derivando em
novamente:
-
. - Para
é produto: é constante frente a . Então .
Portanto
Avaliação em
:
Agora
(derivada de
em relação a
):
-
. - Para
use regra do produto: derivada é . E . Portanto
Avaliação em
:
Finalmente
(derivada de
em relação a
):
Lembrando .
Lembrando
-
-
Logo
Avaliação em
:
Resumo das segundas derivadas no ponto:
,
,
.
Passo 6
Agora montamos o polinômio
substituindo na fórmula do Passo 2:
Como verificação rápida (meteórico): usando séries de Taylor de uma variável sabemos
e
. Somando com
dá exatamente
termos de ordem
, então bate com o resultado.]