Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeito a
Quais são (máximo, mínimo)?
A.
B.
C.
D.
E:
Quais são (máximo, mínimo)?
A.
B.
C.
D.
Passo 1
O enunciado pede os valores máximo e mínimo da função
sujeitos à restrição
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- A função objetivo é
.\n - A restrição é
(círculo unitário).\n - Você quer o valor máximo de
e o valor mínimo de quando satisfazem a restrição.\n
O enunciado também apresenta alternativas; a alternativa extraé .\n
Nada mais será usado do enunciado nesta etapa; agora vamos aplicar o método pedido.
Passo 2
Ideia do método (em palavras simples): para otimizar
sujeito a uma restrição
(aqui
), procuramos pontos em que o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Isso significa que existem
tais que
Aqui
é o vetor das derivadas parciais de
e
é o vetor das derivadas parciais de
. O parâmetro
é o multiplicador de Lagrange. Essa condição, junto com a própria restrição
, gera um sistema de equações para encontrar candidatos a máximos e mínimos.
Passo 3
Montando o problema: defina
.\n
O Lagrangiano é (escrevo explicitamente só para registro)
O Lagrangiano é (escrevo explicitamente só para registro)
Agora calcule as derivadas parciais e iguale a zero (condições de estacionariedade):
e a restrição
Passo 4
Simplificando as duas equações lineares nas incógnitas
:
Escrevendo em forma matricial:
Para existir solução não trivial
(note que
não satisfaz a restrição), o determinante da matriz deve ser zero. Calcule o determinante:
Impondo
obtemos
Logo
Isto gera duas possibilidades para
:
Passo 5
Analise
.\n
Substituindo em obtemos
. As equações lineares ficam
Substituindo em
(ambas iguais). Portanto
. Usando a restrição
com
:
Assim
e
.\n
Calcule nesses pontos. Como
,
Calcule
Com
obtemos
Portanto os pontos com
dão o valor
.
Passo 6
Analise
.\n
Agora . As equações lineares tornam-se
Agora
que implicam
. Usando a restrição
com
:
Então
e
(mesmo sinal).\n
Calcule nesses pontos. Como
,
Calcule
Com
obtemos
Portanto os pontos com
dão o valor
.
Passo 7
Conclusão dos candidatos:\n
- Valores encontrados:
e .\n
Como, o mínimo de na restrição é e o máximo é .\n
Verificação rápida alternativa (só para intuição): parametrizando a circunferência portemos
cujo máximo é
e mínimo
, confirmando o resultado anterior.