Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2} sujeito a x^{2}+y^{2}=1
Quais são (máximo, mínimo)?
A. (2,0)
B. (3,1)
C. (1,-1)
D. (1,0)
E: \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede os valores máximo e mínimo da função f(x,y)=x^{2}+x y+y^{2} sujeitos à restrição x^{2}+y^{2}=1.\n
Informações dadas:\n
  • A função objetivo é f(x,y)=x^{2}+x y+y^{2}.\n
  • A restrição é x^{2}+y^{2}=1 (círculo unitário).\n
  • Você quer o valor máximo de f e o valor mínimo de f quando (x,y) satisfazem a restrição.\n
    O enunciado também apresenta alternativas; a alternativa extra E é \left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right).\n
    Nada mais será usado do enunciado nesta etapa; agora vamos aplicar o método pedido.

Passo 2

Ideia do método (em palavras simples): para otimizar f sujeito a uma restrição g(x,y)=0 (aqui g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1), procuramos pontos em que o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso significa que existem \lambda tais que
\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y).
Aqui \nabla f é o vetor das derivadas parciais de f e \nabla g é o vetor das derivadas parciais de g. O parâmetro \lambda é o multiplicador de Lagrange. Essa condição, junto com a própria restrição g(x,y)=0, gera um sistema de equações para encontrar candidatos a máximos e mínimos.

Passo 3

Montando o problema: defina g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.\n
O Lagrangiano é (escrevo explicitamente só para registro)
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x^{2}+x y+y^{2}-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr).
Agora calcule as derivadas parciais e iguale a zero (condições de estacionariedade):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x+y-2\lambda x=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=x+2y-2\lambda y=0,
e a restrição
x^{2}+y^{2}=1.

Passo 4

Simplificando as duas equações lineares nas incógnitas x,y:
\bigl(2-2\lambda\bigr)x+y=0,
x+\bigl(2-2\lambda\bigr)y=0.
Escrevendo em forma matricial:
\begin{pmatrix}2(1-\lambda) & 1\\[4pt] 1 & 2(1-\lambda)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para existir solução não trivial (x,y)\neq(0,0) (note que (0,0) não satisfaz a restrição), o determinante da matriz deve ser zero. Calcule o determinante:
\det =\bigl(2(1-\lambda)\bigr)^{2}-1=4(1-\lambda)^{2}-1.
Impondo \det=0 obtemos
4(1-\lambda)^{2}-1=0\quad\Rightarrow\quad(1-\lambda)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Logo
1-\lambda=\pm \tfrac{1}{2}.
Isto gera duas possibilidades para \lambda:
\lambda=\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad \lambda=\tfrac{3}{2}.]

Passo 5

Analise \lambda=\tfrac{1}{2}.\n
Substituindo em 2(1-\lambda) obtemos 2(1-\tfrac{1}{2})=2\cdot\tfrac{1}{2}=1. As equações lineares ficam
x+y=0,
x+y=0
(ambas iguais). Portanto y=-x. Usando a restrição x^{2}+y^{2}=1 com y=-x:
x^{2}+(-x)^{2}=1\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=1\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\tfrac{1}{2}.
Assim x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}} e y=\mp\tfrac{1}{\sqrt{2}}.\n
Calcule f nesses pontos. Como y=-x,
f(x,y)=x^{2}+x y+y^{2}=x^{2}+x(-x)+x^{2}=x^{2}-x^{2}+x^{2}=x^{2}.
Com x^{2}=\tfrac{1}{2} obtemos
f=\tfrac{1}{2}.
Portanto os pontos com y=-x dão o valor f=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Analise \lambda=\tfrac{3}{2}.\n
Agora 2(1-\lambda)=2\bigl(1-\tfrac{3}{2}\bigr)=2(-\tfrac{1}{2})=-1. As equações lineares tornam-se
- x + y=0,
x - y=0,
que implicam y=x. Usando a restrição x^{2}+y^{2}=1 com y=x:
x^{2}+x^{2}=1\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=1\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\tfrac{1}{2}.
Então x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}} e y=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}} (mesmo sinal).\n
Calcule f nesses pontos. Como y=x,
f(x,y)=x^{2}+x y+y^{2}=x^{2}+x^{2}+x^{2}=3x^{2}.
Com x^{2}=\tfrac{1}{2} obtemos
f=3\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Portanto os pontos com y=x dão o valor f=\tfrac{3}{2}.

Passo 7

Conclusão dos candidatos:\n
  • Valores encontrados: f=\tfrac{1}{2} e f=\tfrac{3}{2}.\n
    Como \tfrac{1}{2}<\tfrac{3}{2}, o mínimo de f na restrição é \tfrac{1}{2} e o máximo é \tfrac{3}{2}.\n
    Verificação rápida alternativa (só para intuição): parametrizando a circunferência por x=\cos t,\;y=\sin t temos
f=\cos^{2}t+\cos t\sin t+\sin^{2}t=1+\tfrac{1}{2}\sin 2t,
cujo máximo é 1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2} e mínimo 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right)

Exercícios relacionados