Analise as afirmações sobre intervalos reais:
[ I-] O intervalo (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) é chamado de aberto, pois não contém os extremos \boldsymbol{a} e \boldsymbol{b}.

Passo 1

O enunciado pede que eu analise a afirmação I: " (a,b) é chamado de aberto, pois não contém os extremos a e b".
Informações dadas: o intervalo escrito é (a,b).
O que se quer: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê.

Passo 2

Primeiro, vamos entender explicitamente o que significa o símbolo (a,b).
Por definição,
(a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}.
Isso quer dizer que um número x pertence a (a,b) exatamente quando x é maior que a e menor que b. Note que as desigualdades são estritas ( <), então os pontos a e b não satisfazem a<x<b e, portanto, não pertencem ao conjunto (a,b). Aqui estou assumindo que a<b; se a\ge b então (a,b) é o conjunto vazio, mas o caso usual é a<b.

Passo 3

Agora, o que significa chamar um intervalo de “aberto”? Vou dar duas maneiras equivalentes (uma mais direta e outra mais formal):
  • Intuitivamente e em linguagem elementar: um intervalo é chamado de aberto quando ele não contém seus extremos. Ou seja, para (a,b) os extremos a e b não pertencem ao intervalo — exatamente como a definição acima mostra. Exemplos simples: (0,1) não contém 0 nem 1; qualquer ponto de (0,1) está estritamente entre 0 e 1.
  • Definição mais precisa (topológica, mas simples): um subconjunto U\subset\mathbb{R} é aberto se para todo ponto x\in U existe um raio \varepsilon>0 tal que o intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon) está contido em U. Vou mostrar que (a,b) tem essa propriedade: tome qualquer x com a<x<b. Defina
\varepsilon=\min\{x-a,\;b-x\}/2.
Então \varepsilon>0 e, para todo y com |y-x|<\varepsilon, temos a<y<b; em outras palavras (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset (a,b). Isso prova que todo ponto de (a,b) é interior, então (a,b) é um conjunto aberto segundo a definição acima.

Passo 4

Compare as duas descrições: a afirmação do enunciado diz que (a,b) é chamado de aberto "pois não contém os extremos a e b". Para intervalos finitos, essa é uma forma correta e usual de explicar por que dizemos “aberto” — excluir os extremos é a característica que diferencia (a,b) de um intervalo fechado [a,b], que inclui ambos. Em linguagem mais formal, a razão fundamental é que cada ponto de (a,b) tem uma vizinhança totalmente contida no intervalo (veja Passo 3), e uma consequência imediata dessa propriedade é que os extremos não pertencem ao intervalo.

Passo 5

Algumas observações finais úteis para a prova (pontos que costumam pegar estudante em exame):
  • Notação alternativa: às vezes usa-se ]a,b[ para indicar o mesmo que (a,b).
  • Caso a=b, (a,a)=\varnothing (conjunto vazio).
  • Se um conjunto não contém seus extremos isso caracteriza um intervalo “aberto” quando estamos falando de intervalos do tipo finito (a,b); mas cuidado: para conjuntos arbitrários em \mathbb{R} a ausência de “extremos” não é a definição geral de aberto — a definição geral é a da vizinhança com \varepsilon (mostrada no Passo 3). Para intervalos, as duas ideias coincidem.

Resposta

Verdadeira.

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