Analise as afirmações sobre intervalos reais:
[ I-] O intervalo
é chamado de aberto, pois não contém os extremos
e
.
[ I-] O intervalo
Passo 1
O enunciado pede que eu analise a afirmação I: "
é chamado de aberto, pois não contém os extremos
e
".
Informações dadas: o intervalo escrito é .
O que se quer: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê.
Informações dadas: o intervalo escrito é
O que se quer: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê.
Passo 2
Primeiro, vamos entender explicitamente o que significa o símbolo
.
Por definição,
Por definição,
Isso quer dizer que um número
pertence a
exatamente quando
é maior que
e menor que
. Note que as desigualdades são estritas (
), então os pontos
e
não satisfazem
e, portanto, não pertencem ao conjunto
. Aqui estou assumindo que
; se
então
é o conjunto vazio, mas o caso usual é
.
Passo 3
Agora, o que significa chamar um intervalo de “aberto”? Vou dar duas maneiras equivalentes (uma mais direta e outra mais formal):
-
Intuitivamente e em linguagem elementar: um intervalo é chamado de aberto quando ele não contém seus extremos. Ou seja, para
os extremos e não pertencem ao intervalo — exatamente como a definição acima mostra. Exemplos simples: não contém nem ; qualquer ponto de está estritamente entre e . -
Definição mais precisa (topológica, mas simples): um subconjunto
é aberto se para todo ponto existe um raio tal que o intervalo está contido em . Vou mostrar que tem essa propriedade: tome qualquer com . Defina
Então
e, para todo
com
, temos
; em outras palavras
. Isso prova que todo ponto de
é interior, então
é um conjunto aberto segundo a definição acima.
Passo 4
Compare as duas descrições: a afirmação do enunciado diz que
é chamado de aberto "pois não contém os extremos
e
". Para intervalos finitos, essa é uma forma correta e usual de explicar por que dizemos “aberto” — excluir os extremos é a característica que diferencia
de um intervalo fechado
, que inclui ambos. Em linguagem mais formal, a razão fundamental é que cada ponto de
tem uma vizinhança totalmente contida no intervalo (veja Passo 3), e uma consequência imediata dessa propriedade é que os extremos não pertencem ao intervalo.
Passo 5
Algumas observações finais úteis para a prova (pontos que costumam pegar estudante em exame):
- Notação alternativa: às vezes usa-se
para indicar o mesmo que . - Caso
, (conjunto vazio). - Se um conjunto não contém seus extremos isso caracteriza um intervalo “aberto” quando estamos falando de intervalos do tipo finito
; mas cuidado: para conjuntos arbitrários em a ausência de “extremos” não é a definição geral de aberto — a definição geral é a da vizinhança com (mostrada no Passo 3). Para intervalos, as duas ideias coincidem.
Resposta
Verdadeira.